《2025年学习与评价江苏教育出版社九年级数学上册苏科版》

如图 2-14,有一圆形展厅,在其圆形边缘上的点 A 处安装了一台监视器,它的监控角度是$65^{\circ }$.为了监控整个展厅,最少需在圆形边缘上安装多少台这样的监视器?

答案： 解：设需要安装x台
65°×2x≥360°
解得$ x≥\frac {36}{13}，$即$x≥2\frac {10}{13}$
2+1=3(台)
答：最少需在圆心边缘上安装这样的监视器3台。

例1 如图2-15,$\triangle ABC$的顶点A、B、C在$\odot O$上,$\angle ACO= 40^{\circ }$,求$\angle B$的度数.
分析 由$OA= OC$,$\angle ACO= 40^{\circ }$,可以求得$\angle AOC$的度数,$\angle B是\widehat {AC}$所对的圆周角,$\angle AOC是\widehat {AC}$所对的圆心角.
解 $\because OC= OA$,
$\therefore \angle CAO= \angle ACO= 40^{\circ }$.
$\therefore \angle AOC= 180^{\circ }-2× 40^{\circ }=100^{\circ }$.
$\therefore \angle B= \frac {1}{2}\angle AOC= 50^{\circ }$.
说明 一般地,求圆周角的度数,可以转化为:(1)求该角所对的弧的度数;(2)求与该角同弧的其他圆周角的度数;(3)该角所对的弧的圆心角度数.

答案： 解：
∵OC=OA，
∴∠CAO=∠ACO=40°．
∴∠AOC=180°-2×40°=100°．
∵∠B是$\widehat{AC}$所对的圆周角，∠AOC是$\widehat{AC}$所对的圆心角，
∴∠B=$\frac{1}{2}$∠AOC=50°．

例2 如图2-16,在$\odot O$中,弦AB、CD的延长线相交于点P,且$DA= DP$.
求证:$BC= BP$.
分析 要证明$BC= BP$,只要证明$\angle C= \angle P$.
证明 $\because DA= DP$,
$\therefore \angle A= \angle P$.
又$\because \angle A= \angle C$,
$\therefore \angle P= \angle C$.
$\therefore BC= BP$.
说明 在圆内证明两角相等,用圆周角的有关性质进行转换是常见的方法之一.

答案： 证明：
∵ DA = DP，
∴ ∠A = ∠P（等边对等角）。
∵ ∠A 与 ∠C 都是弧 BD 所对的圆周角，
∴ ∠A = ∠C（同弧所对的圆周角相等）。
∴ ∠P = ∠C。
∴ BC = BP（等角对等边）。