《2025年初一入学分班测试卷七年级数学苏科版》

2. 计算下面各题,能简算的要简算。(8分)
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}$ $6.31×101-6.31+125$

答案： 【解析】：
对于第一个式子，我们可以观察到它是一个无穷级数的前几项和，但由于它是有限的，我们可以通过找公分母来简化。但更简便的方法是，我们可以将其看作一个递减的等比数列，其和为1减去最后一项的差。对于第二个式子，我们可以利用乘法分配律来简化计算。
【答案】：
解：
①
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}$
$= 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + \frac{1}{8} - \frac{1}{16} + \frac{1}{16} - \frac{1}{32}$
$= 1 - \frac{1}{32}$
$= \frac{31}{32}$
②
$6.31×101-6.31+125$
$= 6.31×(101-1) + 125$
$= 6.31×100 + 125$
$= 631 + 125$
$= 756$

1. 张叔叔的文章发表后得到稿费4000元,其中800元是免税的,其余部分按$14\%$的税率缴税,张叔叔一共要缴税(448)元。

答案： 【解析】：
这个问题主要考察的是税率计算的知识点。
首先，需要确定需要缴税的稿费部分，即总稿费减去免税部分。然后，按照给定的税率计算需要缴纳的税款。
具体步骤如下：
1. 计算需要缴税的稿费部分 = 总稿费 - 免税部分 = 4000 - 800。
2. 计算税款 = 需要缴税的稿费部分 × 税率 = (4000 - 800) × 14%。
【答案】：
需要缴税的稿费部分为：4000 - 800 = 3200（元）。
税款为：3200 × 14% = 448（元）。
所以，张叔叔一共要缴税448元。

2. 林林读一本书,第一天读了全书的$20\%$,第二天读了22页,还剩下全书的$\frac{5}{9}$,这本书一共有(90)页。

答案： 解：设这本书一共有$x$页。
$20\%x + 22 + \frac{5}{9}x = x$
$\frac{1}{5}x + \frac{5}{9}x + 22 = x$
$\frac{9}{45}x + \frac{25}{45}x + 22 = x$
$\frac{34}{45}x + 22 = x$
$x - \frac{34}{45}x = 22$
$\frac{11}{45}x = 22$
$x = 22 ÷ \frac{11}{45}$
$x = 22 × \frac{45}{11}$
$x = 90$
答：这本书一共有$90$页。

3. 小明在计算2.45加一个一位小数时,误把末位对齐,算得结果是2.56,这个算式的正确结果是(3.55)。

答案： 【解析】：
题目考查了加减法运算以及小数点的位置对数值的影响。
小明在计算$2.45$加上一个一位小数时，错误地将两者末位对齐相加，得到了$2.56$。
首先，我们需要找出小明原本想加的那个一位小数。
由于小明是末位对齐相加，我们可以设那个一位小数为$x$，则小明计算时相当于将$x$当作了$0.x$（即$x/10$）来处理。
因此，我们有方程：
$2.45 + \frac{x}{10} = 2.56$，
解这个方程，我们得到：
$\frac{x}{10} = 2.56 - 2.45$，
$\frac{x}{10} = 0.11$，
$x = 1.1$，
然后，我们用找到的$x$值来计算原算式的正确结果：
$2.45 + 1.1 = 3.55$。
【答案】：
3.55

4. 小强今年11岁,比爸爸小26岁,再过$a$年,爸爸和小强的年龄和是48+2a岁,爸爸比小强大26岁。

答案： 【解析】：
这个问题主要考察的是代数表达式的建立和年龄问题的分析。
首先，我们需要根据题目描述，建立小强和他爸爸的年龄的代数表达式。
然后，我们需要分析再过$a$年后，他们的年龄和以及年龄差。
小强现在的年龄是11岁，他爸爸比他大26岁，所以他爸爸现在的年龄是$11+26=37(岁)$。
再过$a$年，小强的年龄会是$11+a$岁，他爸爸的年龄会是$37+a$岁。
那么，再过$a$年，他们的年龄和就是$(11+a)+(37+a)=48+2a(岁)$。
无论过了多少年，爸爸始终比小强大26岁，这是因为他们的年龄差是恒定的。
【答案】：
再过$a$年,爸爸和小强的年龄和是$(48+2a)$岁,爸爸比小强大$26$岁。

5. 《周髀算经》中有一种特殊的“弦图”(如下图),它是由4个相同的直角三角形拼接而成的,每个直角三角形两条直角边长度的比是$1:2$。
(1) 图中小正方形的边长与直角三角形较短直角边的比是(1)。
(2) 小正方形的面积是大正方形面积的$\frac{(1)}{(5)}$。

答案： 【解析】：
本题主要考查了比例的应用以及正方形和直角三角形的面积计算。
（1）首先，根据题目描述，每个直角三角形两条直角边长度的比是$1:2$。
设较短的直角边长度为$x$，则较长的直角边长度为$2x$。
观察图中的弦图，可以看到小正方形的边长等于较长直角边减去较短直角边，即$2x - x = x$。
因此，小正方形的边长与直角三角形较短直角边的比是$x:x = 1:1$的另一种表现形式（考虑到比例的性质，即比的前项和后项同时乘以或除以一个不为0的数，比值不变），但更准确的表述应该是小正方形的边长就等于直角三角形的较短直角边，所以它们的比是$1$（或任意非零相同数）:1，简化为最简形式就是$1:1$中的数值部分，即填写$1$（或写成$ \frac{1}{1}$、$1:1$等，但通常填最简形式$1$）。
因此，答案为$1$。
（2）正方形的面积公式为：$面积=边长× 边长$，直角三角形的面积公式为：$面积=\frac{1}{2} × 底 × 高$。
小正方形的边长为$2x - x = x$（由第一问得出），所以小正方形的面积为$x × x = x^{2}$。
大正方形是由4个直角三角形和1个小正方形组成的，其边长为直角三角形的斜边。
根据勾股定理，直角三角形的斜边长度为$\sqrt{x^{2} + (2x)^{2}} = \sqrt{5x^{2}} = \sqrt{5}x$。
所以，大正方形的面积为$(\sqrt{5}x)^{2} = 5x^{2}$。
小正方形的面积占大正方形面积的比例为$\frac{x^{2}}{5x^{2}} = \frac{1}{5}$。
因此，答案为$\frac{1}{5}$。
【答案】：
（1）$1$；（2）$\frac{1}{5}$。

6. 将一个平行四边形分成甲、乙、丙三部分(如上图),已知丙的面积比乙少4平方厘米,乙的面积是(10)平方厘米。

答案： 解：设平行四边形的高为$h$厘米。
甲的底为$2$cm，面积$S_{甲}=\frac{1}{2}×2× h = h$。
丙的底为$3$cm，面积$S_{丙}=\frac{1}{2}×3× h=\frac{3}{2}h$。
平行四边形面积$S=(2 + 3)h=5h$，则$S_{乙}=S - S_{甲}- S_{丙}=5h - h-\frac{3}{2}h=\frac{5}{2}h$。
由丙比乙少$4$平方厘米：$\frac{5}{2}h-\frac{3}{2}h = 4$，解得$h = 4$。
$S_{乙}=\frac{5}{2}×4 = 10$（平方厘米）。
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7. 某市从今年1月1日起调整居民用水价格,每立方米水费上涨$20\%$。小丽家去年12月份的水费是15元,而今年5月份的水费则是30元。已知小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5立方米。该市今年居民用水的价格是每立方米(2.4)元。

答案： 【解析】：
本题主要考查分式方程的应用。
设去年居民用水的价格为每立方米$x$元，
由于每立方米水费上涨$20\%$，
则今年居民用水的价格为每立方米$1.2x$元。
根据题意，去年12月份的水费是15元，
所以去年12月份的用水量为$\frac{15}{x}$立方米；
今年5月份的水费是30元，
所以今年5月份的用水量为$\frac{30}{1.2x}$立方米。
再根据题目条件“小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5立方米”，
可以列出方程：
$\frac{30}{1.2x} - \frac{15}{x} = 5$
解这个方程，我们可以得到$x=2$，
进而求得今年居民用水的价格：
$1.2x = 1.2 × 2 = 2.4 \text{(元/立方米]}$
经检验，$x=2$满足原方程，
且符合题意。
【答案】：
该市今年居民用水的价格是每立方米$2.4$元。