《2025年初一入学分班测试卷七年级数学苏科版》

5. 十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数$(V)$、面数$(F)$、棱数$(E)$之间存在一个有趣的关系式,被称为欧拉公式。

(1) 观察上面的多面体模型,得到下表：
| 多面体 | 顶点数$(V)$ | 面数$(F)$ | 棱数$(E)$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| 正四面体 | 4 | 4 | 6 |
| 正方体 | 8 | 6 | 12 |
| 正八面体 | 6 | 8 | 12 |
| 正十二面体 | 20 | 12 | 30 |
可以发现多面体的顶点数$(V)$、面数$(F)$、棱数$(E)$之间存在的关系式是($V + F - E = 2$)。(4分)
(2) 有一个正多面体,它的外表面是由若干个正三角形拼接而成的,共有12个顶点,每个顶点连接5条棱,这个正多面体的面数是(20)。(4分)

答案： 【解析】：
(1)观察给出的多面体模型表格，可以发现顶点数$(V)$、面数$(F)$、棱数$(E)$之间满足的关系式是欧拉公式：$V + F - E = 2$。
可以通过代入各个多面体的顶点数、面数、棱数来验证这个公式。
例如，对于正四面体：$4 + 4 - 6 = 2$；
对于正方体：$8 + 6 - 12 = 2$；
对于正八面体：$6 + 8 - 12 = 2$；
对于正十二面体：$20 + 12 - 30 = 2$。
因此，多面体的顶点数、面数、棱数之间存在的关系式是$V + F - E = 2$。
(2)有一个正多面体，它的外表面是由若干个正三角形拼接而成的，共有$12$个顶点，每个顶点处有$5$条棱。
由于每个顶点连接$5$条棱，但每条棱被两个顶点共享，所以棱数$E$可以表示为$\frac{12 × 5}{2} = 30$。
已知顶点数$V = 12$，可以利用欧拉公式$V + F - E = 2$来求解面数$F$。
代入已知的$V$和$E$的值，得到$12 + F - 30 = 2$，解得$F = 20$。
【答案】：
(1)$V + F - E = 2$
(2)$20$