《2025年一遍过八年级数学上册人教版》

1 [2025北京中关村中学期中]在月历中,我们可以发现其中某些数满足一定的规律.
(1)如图1是2025年8月的月历,我们用如图所示的“Z”形框架任意框住月历中的5个数,将位置B,D上的数相乘,位置A,E上的数相乘,再相减.
例如:$5×19-4×20= $____,$2×16-1×17= $____,不难发现,结果都等于____.
(2)设“Z”形框架中位置C上的数为x,请利用整式的运算对(1)中的规律加以说明.
(3)如图2,用“凹”形框架任意框住5个数,设“凹”形框中的五个数分别为$a_{1},a_{2},a,a_{3},a_{4}$,用含a的代数式表示$a_{4}$,则$a_{4}= $____,并说明$a_{1}a_{3}-a_{2}a_{4}$的值是否为定值.
(4)仿照上述探究的方法,请你在月历中任意画出一个图形,并探究这些数之间的规律.

答案： 1 解:
(1)15 15 15
(2)
∵“Z”形框架中位置C上的数为x,
∴位置A,B,D,E上的数依次为x-8,x-7,x+7,x+8,
由题意得,(x-7)(x+7)-(x-8)(x+8)
=(x²-49)-(x²-64)
=x²-49-x²+64
=15.
(3)a-6
由题意知,a₄=a+1-7=a-6.
a₁a₃-a₂a₄的值为定值.理由如下:
由题意知,a₁=a-1-7=a-8,a₂=a-1,a₃=a+1,
∴a₁a₃-a₂a₄=(a-8)(a+1)-(a-1)(a-6)=a²+a-8a-8-(a²-6a-a+6)=a²-7a-8-a²+7a-6=-14.
(4)答案略.

2 [2025安庆外国语学校期中改编]【观察思考】
$1×9,2×8,3×7,4×6,5×5,6×4,7×3,8×2,9×1.$
【规律发现】
(1)上述9组算式,两数之和为定值10,两数的差越小,两数的积越____.
【类比应用】
$1×59,2×58,3×57,...,57×3,58×2,59×1.$
(2)猜想其中哪个算式的积最大.
(3)若$m+n= 60$,你能用本章所学知识说明mn的最大值是多少吗?
(4)利用你发现的规律解决下面的问题.
某农场主要用总长为90m的篱笆围成一个长方形菜地和一个相邻的长方形鸡舍,如图,已知菜地和鸡舍的宽均为10m.则菜地和鸡舍的长分别为多少米时,长方形菜地和鸡舍的面积的乘积最大?

答案： 2 解:
(1)大
(2)猜想30×30的积最大.
(3)设m=30-t,n=30+t,
则mn=(30-t)(30+t)=900-t²,
∵t²≥0,
∴900-t²≤900,
∴当t=0,即m=n=30时,mn的值最大,为900.
(4)设菜地的长AC=x m,鸡舍的长CE=y m.
由题意得,2x+2y+10+10+10=90,
∴x+y=30.
长方形菜地和鸡舍的面积的乘积为10x·10y=100xy,
根据发现的规律,可知当x=y=15时,100xy有最大值,
∴菜地和鸡舍的长均为15 m时,长方形菜地和鸡舍的面积的乘积最大.