《2025年一遍过八年级数学上册人教版》

10 教材P9T4变式 [2025南充嘉陵区期末]如图,CD,CE,CF分别是$ \triangle ABC $的高、角平分线、中线,则下列各式错误的是 ( )

A.$ AB = 2BF $
B.$ \angle ACE = \frac{1}{2} \angle ACB $
C.$ AE = BE $
D.$ CD \perp BE $

答案： C
∵ CD,CE,CF 分别是△ABC 的高、角平分线、中线,
∴ CD⊥BE,$\angle ACE=\frac{1}{2}\angle ACB$,AB=2BF,
∴ A,B,D 正确,C 错误

11 [2025三门峡灵宝期中]如图,AD为$ \triangle ABC $的中线,DE,DF分别为$ \triangle ADB $,$ \triangle ADC $的高. 若$ AB = 3 $,$ AC = 4 $,$ DF = 1.5 $,则$ DE = $____.

答案： 2
∵ AD 为△ABC 的中线,
∴ BD=DC,
∴$S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ADC}$,
∵ DE,DF 分别是△ABD,△ADC 的高,$\therefore \frac{1}{2}AB\cdot DE=\frac{1}{2}AC\cdot DF$,
∵ AB=3,AC=4,DF=1.5,$\therefore \frac{1}{2}×3× DE=\frac{1}{2}×4×1.5$,
∴ DE=2.

12 推理能力 数学活动课上,老师提出了如下问题:如图,在$ \triangle ABC $中,$ AB = AC $,P是BC上一点,过点P作$ PD \perp AB $,$ PE \perp AC $,垂足分别为D,E,过点B作$ BF \perp AC $,垂足为F,连接AP.


(1)如图1,当P为BC边上的任意一点时,线段PD,PE,BF之间的数量关系是什么?并说明理由.
(2)如图2,当点P在BC边的延长线上时.
①试猜想(1)中的数量关系是否仍然成立? 若成立,请加以证明;若不成立,请写出成立的数量关系,并说明理由.
②当$ S_{\triangle ABC} = 10 $,$ AB = 5 $,$ PE = 2 $时,线段PD的长为____.

答案： 解:
(1)BF=PD+PE.理由如下:
∵ 点 P 在线段 BC 上,
∴$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABP}+S_{\triangle ACP}$,$\therefore \frac{1}{2}AC\cdot BF=\frac{1}{2}AB\cdot PD+\frac{1}{2}AC\cdot PE$.
∵ AB=AC,
∴ BF=PD+PE.
(2)①
(1)中的数量关系不成立.BF=PD-PE.理由:
∵ 点 P 在 BC 的延长线上,
∴$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABP}-S_{\triangle ACP}$,$\therefore \frac{1}{2}AC\cdot BF=\frac{1}{2}AB\cdot PD-\frac{1}{2}AC\cdot PE$.
∵ AB=AC,
∴ BF=PD-PE.
② 6 解法提示:
∵$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BF=10$,AB=AC=5,$\therefore \frac{1}{2}×5× BF=10$,
∴ BF=4.由①可知 PD=BF+PE,
∴ PD=4+2=6.

1 [2025 广州知用学校期中]如图,在$\triangle ABC$中,$D,E,F分别是AC,BD,AE$的中点,若$\triangle DEF的面积为1$,则$\triangle ABC$的面积是 ( )

A.$3$
B.$4$
C.$8$
D.$12$
用——面积问题 答案 P03

答案： C
∵ D,E,F 分别是 AC,BD,AE 的中点,
∴ S△ADE=2S△DEF,S△ABD=2S△ADE,S△ABC=2S△ABD,
∴ S△ABC=8S△DEF=8.

2 如图,$CD是AB$边上的中线,$BE是CD$边上的中线,$F为DE$的中点. 若$\triangle ADF的面积为2$,则$\triangle ABC$的面积为 ( )

A.$12$
B.$14$
C.$16$
D.$18$

答案：
C 如图,连接 AE.
∵ F 为 DE 的中点,△ADF 的面积为 2,
∴ S△ADE=2S△ADF=2×2=4.
∵ BE 是 CD 边上的中线,
∴ DE=CE,
∴ AE 是 CD 边上的中线,
∴ S△ACD=2S△ADE=2×4=8.
∵ CD 是AB 边上的中线,
∴ S△ABC=2S△ACD=2×8=16.　　　　　　　　　

3 如图,点$G为\triangle ABC$的重心,$D,E,F分别为BC,CA,AB$的中点,具有性质:$AG:GD= BG:GE= CG:GF= 2:1$. 已知$\triangle AFG的面积为3$,则$\triangle ABC$的面积为____.

答案： 18
∵ CG:GF=2:1,S△AFG=3,
∴ S△ACG=6,
∴ S△ACF=3+6=9.
∵ F 为 AB 的中点,
∴ S△ABC=2S△ACF=18.