《2025年一遍过八年级数学上册人教版》

1 [2025南宁二十四中月考]用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图如图所示,则证明$∠CAD= ∠DAB$的依据是 ( )


A.SSS
B.SAS
C.ASA
D.AAS

答案： 根据题中作图方法,可知AE=AF,DE=DF,AD=AD,所以△ADE≌△ADF(SSS),所以∠CAD=∠DAB.

2 尺规作图:分别作出已知钝角和平角$∠AOB$的平分线.(保留作图痕迹,不写作法)

答案：
解:钝角和平角∠AOB的平分线如图1,2所示.
　　　　 　　　　　　　
作法提示:在钝角∠AOB中,以点O为圆心,适当长为半径作弧,分别交OA,OB于点M,N,然后分别以点M,N为圆心,大于$\frac{1}{2}$MN的长为半径作弧,两弧在∠AOB的内部相交于点C,作射线OC,如图1所示,射线OC即为钝角∠AOB的平分线;在平角∠AOB中,以点O为圆心,适当长为半径作弧,分别交OA,OB于点M,N,然后分别以点M,N为圆心,大于$\frac{1}{2}$MN的长为半径作弧,两弧交于点C,作射线OC,如图2所示,射线OC即为平角∠AOB的平分线.
易错提醒
作弧的限制条件
以大于$\frac{1}{2}$MN的长为半径作弧,“大于$\frac{1}{2}$MN”这个条件不可少,若以小于或等于$\frac{1}{2}$MN的长为半径作弧,则两弧没有交点或交于点O,确定不出点C的位置.

3 教材P49探究变式 如图,若OP平分$∠AOB,PC⊥OA,PD⊥OB$,垂足分别是C,D,则下列结论中错误的是 ( )

A.$PC= PD$
B.$∠CPO= ∠DPO$
C.OC,OP不一定相等
D.$OC= OD$

答案：
∵OP平分∠AOB,PC⊥OA,PD⊥OB,
∴∠COP=∠DOP,∠OCP=∠ODP=90°,PC=PD,故A项不符合题意;
∵∠OCP=∠ODP=90°,∠COP=∠DOP,
∴∠CPO=∠DPO(三角形内角和等于180°),故B项不符合题意;在Rt△OCP中,OC,OP一定不相等,故C项符合题意;
∵OP=OP,PC=PD,
∴Rt△POC≌Rt△POD(HL),
∴OC=OD,故D项不符合题意.

4 [2024青海中考]如图,OC平分$∠AOB$,点P在OC上,$PD⊥OB$于点D,$PD= 2$,则点P到OA的距离是 ( )

A.4
B.3
C.2
D.1

答案：
如图,过点P作PE⊥AO于点E,
∵OC平分∠AOB,PE⊥AO,PD⊥OB,
∴PE=PD,
∴点P到OA的距离是2.

5 [2024绵阳中考]如图,在$△ABC$中,$AB= 5$,AD平分$∠BAC$交BC于点D,$DE⊥AC$,垂足为E,$△ABD$的面积为5,则DE的长为 ( )

A.1

B.2
C.3
D.5

答案：
如图,过点D作DF⊥AB于点F,
∵AD平分∠BAC,DE⊥AC,DF⊥AB,
∴DE=DF.
∵△ABD的面积为5,
∴$\frac{1}{2}$AB·DF=5,
∵AB=5,
∴DF=2,
∴DE=2.
　　　　　　　　　　
归纳总结
有关角的平分线的常见添加辅助线的方法
条件 方法
OP平分∠AOB,PD⊥OB于点D 作PC⊥OA于点C
OP平分∠AOB,D为OB上一点 在OA上截取OC=OD,连接CP
OP平分∠AOB,DP⊥OP于点P 延长DP交OA于点C
OP平分∠AOB 过点P作PD//OA
　

变式 [2025无锡惠山区期末]如图,BD是$∠ABC$的平分线,$DE⊥AB$于点E,$△ABC的面积是21cm^{2},AB= 8cm,BC= 6cm$,则DE的长为______cm.

答案：
如图,过点D作DF⊥BC于点F,
∵BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB,DF⊥BC,
∴DE=DF.
∵△ABC的面积是21cm²,
∴S△ABD+S△CBD=21,
∴$\frac{1}{2}$AB·DE+$\frac{1}{2}$BC·DF=21,
∵AB=8cm,BC=6cm,
∴$\frac{1}{2}$×(8+6)·DE=21,
∴DE=3 cm.
　　　　　　　　　　

6 [2025赣州南康区期中]如图,在$△ABC$中,AD平分$∠BAC,∠C= 90^{\circ },DE⊥AB$于点E,点F在AC上,$BD= DF$.
(1)求证:$CF= EB$.
(2)若$AB= 12,AF= 8$,求CF的长.

答案：
(1)证明:
∵AD平分∠BAC,∠C=90°,DE⊥AB,
∴DE=DC.在Rt△CDF和Rt△EDB中,$\left\{ \begin{array}{l} DF=DB, \\ DC=DE, \end{array} \right.$
∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL),
∴CF=EB.
(2)解:设CF=x,则EB=x,
∵AB=12,AF=8,
∴AE=AB - EB=12 - x,AC=AF+CF=8+x.由
(1)知CD=DE.在Rt△ACD和Rt△AED中,$\left\{ \begin{array}{l} AD=AD, \\ CD=ED, \end{array} \right.$
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL),
∴AC=AE,即8+x=12 - x,解得x=2,即CF=2.