《2025年一遍过八年级数学上册人教版》

1 [2025昆明石林期末]如图,在$Rt△ABC$中,$∠C= 90^{\circ },∠B= 30^{\circ },AC= 4$,则AB的长是 ( )

A.6
B.7
C.8
D.9

答案： C 在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AC=4,
∴AB=2AC=2×4=8.

2 教材P92T7变式[2025平凉崆峒区期末]如图,在$Rt△ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ },∠A= 30^{\circ }$,CD是斜边AB上的高,$BD= 2$,那么AB等于 ( )

A.5
B.6
C.8
D.12

答案： C
∵∠ACB=90°,∠A=30°,
∴BC=$\frac{1}{2}$AB.
∵CD⊥AB,
∴∠CDB=90°.
∵∠B=90°−∠A=60°,
∴∠BCD=90°−∠B=30°,
∴BD=$\frac{1}{2}$BC,
∴BD=$\frac{1}{4}$AB.
∵BD=2,
∴AB=8.°

3 [2025西安阎良区期末]如图,$△ABC$是等边三角形,点D是AC的中点,$DE⊥BC,CE= 3$,则AB等于 ( )


A.6
B.8
C.9
D.12

答案： D
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC,∠C=60°.
∵DE⊥BC,
∴∠DEC=90°,
∴∠CDE=90°−∠C=30°,
∴CD=2CE=6.
∵点D是ACの中点,
∴AC=2CD=12,
∴AB=AC=12.

4 [2025汕头澄海区期末]如图是一个高铁站入口双翼闸机的示意图,当它的双翼展开时,双翼边缘的端点A与B之间的距离为8 cm,双翼的边缘$AC= BD= 62cm$,且与闸机箱侧立面夹角$∠PCA= ∠BDQ= 30^{\circ }$,当双翼收起时,可以通过闸机的物体最大宽度为______cm.

答案：
70 如图,过点A作AE⊥CP,垂足为E,过点B作BF⊥DQ,垂足为F,
∴∠AEC=∠BFD=90°.
∵∠PCA=∠BDQ=30°,AC=BD=62cm,
∴AE=$\frac{1}{2}$AC=31cm,BF=$\frac{1}{2}$BD=31cm.
∵双翼边缘的端点A与B之间的距离为8cm,
∴当双翼收起时,可以通过闸机的物体最大宽度=AE+8+BF=31+8+31=70(cm).

5 [2025百色平果期末]如图1,某温室屋顶结构外框为$△ABC$,立柱AD垂直平分横梁BC,$∠B= 30^{\circ }$,斜梁$AC= 4m$,为增大向阳面的面积,将立柱增高并改变位置,使屋顶结构外框变为$△EBC$(点E在BA的延长线上),立柱$EF⊥BC$,如图2所示,若$EF= 3m$,则斜梁增加部分AE的长为多少?

答案： 解:
∵立柱AD垂直平分横梁BC,斜梁AC=4m,
∴AB=AC=4m.
∵EF⊥BC,∠B=30°,EF=3m,
∴BE=2EF=6m,
∴AE=BE−AB=6−4=2(m),
∴斜梁增加部分AE的长为2m.

6 [2024云南师大实验中学期中]有一个等腰三角形模型(示意图如图所示),它的顶角为$120^{\circ }$,腰长为12 m,则底边上的高是 ( )

A.4 m
B.6 m
C.10 m
D.12 m

答案：
B 如图,过点A作AD⊥BC于点D,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC,
∴∠B=∠C=$\frac{1}{2}$(180°−∠BAC)=30°.
∵AD⊥BC,
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×12=6(m).

7 [2025安庆期末]如图,在$△ABC$中,$∠C= 90^{\circ },∠B= 15^{\circ }$,DE垂直平分AB,$BE= 4$,则AC的长为______.

答案： 2 连接AE,
∵DE垂直平分AB,
∴AE=BE=4,∠BAE=∠B=15°,
∴∠AEC=∠BAE+∠B=30°.
∵∠C=90°,
∴AC=$\frac{1}{2}$AE=2.

8 [2025荆州期中]如图,在$△ABC$中,$AB= 12cm,AC= 10cm,∠A= 60^{\circ }$,点P从点B出发以每秒2 cm的速度向点A运动,点Q同时从点A出发以每秒1 cm的速度向点C运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动,设运动时间为t秒,当$△APQ$为直角三角形时,求t的值.

答案： 解:由题意,得BP=2t cm,AQ=t cm,
∴AP=AB - BP=(12 - 2t)cm,2t≤12,t≤10,
∴t≤6.
∵△APQ为直角三角形,∠A=60°,
∴分∠AQP=90°,∠APQ=90°两种情况进行讨论：当∠AQP=90°时,则∠APQ=30°,
∴AQ=$\frac{1}{2}$AP,即t=$\frac{1}{2}$(12 - 2t),解得t=3.当∠APQ=90°时,则∠AQP=30°,
∴AP=$\frac{1}{2}$AQ,即$\frac{1}{2}$t=12 - 2t,解得t=4.8.综上，当t的值为3或4.8时，△APQ为直角三角形.