《2025年一遍过八年级数学上册人教版》

7 [2025庆阳期末]如图,已知$△ABC$的周长是20,BO,CO分别平分$∠ABC,∠ACB,OD⊥BC$于点D,且$OD= 3$,则$△ABC$的面积是 ( )


A.20
B.25
C.30
D.35

答案：
如图,连接OA,过点O作OE⊥AB于点E,OF⊥AC于点F.
∵BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,
∴OE=OD=OF=3.
∵△ABC的周长是20,
∴AB+BC+AC=20,
∴S△ABC=S△ABO+S△BCO+S△ACO=$\frac{1}{2}$AB·OE+$\frac{1}{2}$BC·OD+$\frac{1}{2}$AC·OF=$\frac{1}{2}$(AB+BC+AC)×3=$\frac{1}{2}$×20×3=30.
　　　　　　　　　

8 [2025广州白云区期末]如图,在$△ABC$中,$∠ABC和∠ACB$的外角平分线BP,CP交于点P,$PE⊥AC$交AC的延长线于点E.若$△ABC$的面积为10,$△BPC$的面积为7,$PE= 4$,则$△ABC$的周长为 ( )

A.8
B.10
C.11
D.12

答案：
如图,连接AP,过点P作PF⊥BC于点F,PG⊥AB,交AB的延长线于点G.
∵∠ABC和∠ACB的外角平分线BP,CP交于点P,PE⊥AC,PF⊥BC,PG⊥AB,PE=4,
∴PF=PE=4,PG=PF,
∴PG=4.
∵△BPC的面积为7,
∴$\frac{1}{2}$BC×4=7,
∴BC=$\frac{7}{2}$.
∵△ABC的面积为10,
∴S△ABP+S△ACP - S△BCP=10,即$\frac{1}{2}$AB×4+$\frac{1}{2}$AC×4 - 7=10,
∴AB+AC=$\frac{17}{2}$,
∴△ABC的周长为AB+AC+BC=$\frac{17}{2}$+$\frac{7}{2}$=12.
　　　　　　　　　

9 [2024齐齐哈尔中考]如图,在平面直角坐标系中,以点O为圆心,适当长为半径作弧,交x轴正半轴于点M,交y轴正半轴于点N,再分别以点M,N为圆心,大于$\frac {1}{2}MN$的长为半径作弧,两弧在第一象限交于点H,作射线OH,若H$(2a-1,a+1)$,则$a= $______.

答案： 根据题中作图方法可得点H在第一象限的角平分线上,
∴点H的横纵坐标相等且为正数,
∴2a - 1=a+1,解得a=2.

10 教材P53T6变式 如图,BD是$∠ABC$的平分线,$BA= BC$,点P在BD上,$PM⊥AD,PN⊥CD$,垂足分别是M,N.求证:$DM= DN$.

答案： 证明:
∵BD是∠ABC的平分线,
∴∠ABD=∠CBD.在△ABD和△CBD中,$\left\{ \begin{array}{l} BA=BC, \\ ∠ABD=∠CBD, \\ BD=BD, \end{array} \right.$
∴△ABD≌△CBD(SAS),
∴∠ADB=∠CDB,
∴DB是∠ADC的平分线.
∵PM⊥AD,PN⊥CD,
∴PM=PN.在Rt△PMD和Rt△PND中,$\left\{ \begin{array}{l} PD=PD, \\ PM=PN, \end{array} \right.$
∴Rt△PMD≌Rt△PND(HL),
∴DM=DN.

11 推理能力 [2024保定期末]已知$∠MAN$,AP平分$∠MAN$,定点C在射线AP上,$∠DCB$与射线AN交于点B,与直线AM交于点D,且$∠MAN+∠DCB= 180^{\circ }$.
【探究】(1)如图1,当点D在射线AM上,且$CB⊥AN$时,判断CD与CB的数量关系,并说明理由.
(2)如图2,当点D在射线AM上,且CB与AN不垂直时,(1)中的结论是否仍然成立? 若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
【拓展】(3)如图3,当点D在射线AM的反向延长线上时,(1)中的结论是否仍然成立? 若成立,请给出证明;若不成立,你又能得出什么结论? 请说明理由.

答案：
解:
(1)CD=CB.理由如下:在△ABC中,∠CBA+∠ACB+∠BAC=180°,在△ACD中,∠ACD+∠CDA+∠CAD=180°,∠MAN=∠CAD+∠BAC,∠DCB=∠ACD+∠ACB,∠MAN+∠DCB=180°,
∴∠CDA+∠CBA=180°.
∵CB⊥AN,
∴∠CBA=90°,
∴∠CDA=90°.
∵AC平分∠MAN,
∴CD=CB.
(2)
(1)中的结论仍然成立.证明如下:如图1,过点C分别作AM与AN的垂线,垂足分别为E,F,
∴∠CED=∠CFB=90°,与
(1)同理可得CE=CF,∠MAN+∠ECF=180°,
∵∠MAN+∠DCB=180°,
∴∠ECF=∠DCB,
∴∠ECF - ∠DCF=∠DCB - ∠DCF,即∠ECD=∠FCB.在△CED和△CFB中,$\left\{ \begin{array}{l} ∠CED=∠CFB, \\ CE=CF, \\ ∠ECD=∠FCB, \end{array} \right.$
∴△CED≌△CFB(ASA),
∴CD=CB.
　　　　 　　　　
(3)
(1)中的结论仍然成立.证明如下:如图2,过点C分别作AM与AN的垂线,垂足分别为E,F,
∴∠CED=∠CFB=90°,与
(1)同理可得CE=CF,∠MAN+∠ECF=180°,
∵∠MAN+∠DCB=180°,
∴∠ECF=∠DCB,
∴∠ECF - ∠DCF=∠DCB - ∠DCF,即∠ECD=∠FCB.在△CED和△CFB中,$\left\{ \begin{array}{l} ∠CED=∠CFB, \\ CE=CF, \\ ∠ECD=∠FCB, \end{array} \right.$
∴△CED≌△CFB(ASA),
∴CD=CB.