《2025年一遍过八年级数学上册人教版》

10 [新考法][2025厦门集美区期中]八一中学八年级(2)班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是5 km和3 km,那么杨冲、李锐两家的直线距离不可能是 ( )

A.1 km
B.2 km
C.3 km
D.8 km

答案： A 当杨冲、李锐两家与学校在同一条直线上时(关键点)，杨冲、李锐两家的直线距离为2 km或8 km;当杨冲、李锐两家与学校不在同一条直线上时，设杨冲、李锐两家的直线距离为x km.根据三角形的三边关系得5 - 3 ＜ x ＜ 5 + 3，即2 ＜ x ＜ 8，结合选项可知，A项符合题意.

11 [2025广州花都区期末]用9根同样长的木棒摆成一个三角形,最长的边中木棒的根数最多是 ( )

A.3
B.4
C.5
D.6

答案： B 设摆成的三角形中最长的边由x根木棒组成，则三角形的另两边的长度和为(9 - x)根木棒的长度和，由三角形的三边关系，得9 - x ＞ x，解得x ＜ 4.5，故最长的边中木棒的根数最多是4.

12 [2023河北中考]四边形ABCD的边长如图所示,对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化.当△ABC为等腰三角形时,对角线AC的长为______.

答案： 3
∵△ABC为等腰三角形，
∴AC = BC或AB = AC.当AC = BC = 4时，AD + CD = AC = 4，此时不满足三角形的三边关系;当AC = AB = 3时，满足三角形的三边关系.综上，AC = 3.

13 [2025湛江期末]已知三角形的三边长分别为2,a - 4,4,则化简|a - 3| + |a - 11|的结果是______.

答案： 8 由三角形的三边关系，得4 - 2 ＜ a - 4 ＜ 4 + 2，解得6 ＜ a ＜ 10，
∴a - 3 ＞ 0，a - 11 ＜ 0，
∴|a - 3| + |a - 11| = a - 3 + 11 - a = 8.

14 [2025上海协和双语学校月考]定义:一个三角形的一边长是另一边长的2倍,这样的三角形叫作“倍长三角形”.若△ABC是“倍长三角形”,有两条边的长分别为2和3,则第三条边的长为______.

答案： 1.5或4 解题思路:设第三条边的长为x，已知△ABC的两条边长分别为2和3，根据三角形的三边关系，得3 - 2 ＜ x ＜ 3 + 2，即1 ＜ x ＜ 5.再根据△ABC是“倍长三角形”，不确定哪一条边长是另一条边长的2倍，可知需分情况讨论，①若2x = 2，则x = 1(不符合题意，舍去);②若2x = 3，则x = 1.5;③若x = 2×2，则x = 4;④若x = 2×3，则x = 6(不符合题意，舍去).综上所述，第三条边的长为1.5或4.

15 [2025四平双辽期末]在学习了三角形后,老师给同学们每人准备了一根12 cm长的木棒,让同学们通过剪拼的形式,制作一个三角形木框.
(1)小明想把木棒剪成三段,第一段的长为a cm,第二段的长比第一段的3倍少2 cm.试判断第一段的长能否为3 cm,并说明理由;
(2)小亮先把木棒剪成如图所示的AB = 4 cm和CD = 8 cm的两段,现要将木棒CD从P处剪开,使得三根木棒首尾顺次相接能制作一个三角形木框,请直接写出符合条件的CP的整数长度.

答案： 解:
(1)第一段的长不能为3 cm.理由如下:根据题意，得第一段的长为a cm，第二段的长为(3a - 2)cm，则第三段的长为[12 - a - (3a - 2)] = (14 - 4a)cm，当a = 3时，3a - 2 = 7，14 - 4a = 2，
∵3 + 2 ＜ 7，
∴这三根木棒不能制作一个三角形木框，
∴第一段的长不能为3 cm.
(2)符合条件的CP的整数长度为3 cm，4 cm或5 cm.设CP = x cm，则PD = (8 - x)cm，
∵AB，CP，PD能组成三角形，
∴x + 4 ＞ 8 - x且4 + 8 - x ＞ x，解得2 ＜ x ＜ 6，
∴整数x为3或4或5，即符合条件的CP的整数长度为3 cm或4 cm或5 cm.

16 [推理能力][教材P21T3变式]数学课本第21页复习题的第3题如下:
如图1,填空:由三角形两边的和大于第三边,得AB + AD ＞______,PD + CD ＞______.将不等式左边、右边分别相加,得AB + AD + PD + CD ＞______,即AB + AC ＞______.
(1)补全上面的步骤.
(2)仿照图1的方法,请你利用图2,过点P作直线交AB,AC于M,N两点.求证:AB + AC ＞ PB + PC.(不添加辅助线)
(3)如图3,点O是△ABC内一点,连接OB和OC.若AB = 5,AC = 6,BC = 7,求OB + OC的取值范围.

【思考】三角形的三边之间有怎样的关系? 得出这个结论的依据是什么?

答案：

(1)解:BD PC BD+PC BP+PC
(2)证明:在△AMN中，AM + AN ＞ MN，在△MPB中，MP + MB ＞ PB，在△NPC中，NP + NC ＞ PC，将三个不等式左边、右边分别相加，得AM + AN + MB + MP + NP + NC ＞ MN + PB + PC，即AB + AC ＞ PB + PC;
(3)解:如图，延长BO交AC于点D，由AB + AD ＞ BD，OD + CD ＞ OC，可得AB + AC ＞ OB + OC.根据三角形的三边关系可得OB + OC ＞ BC.
∵AB = 5，AC = 6，BC = 7，
∴7 ＜ OB + OC ＜ 11. 解题通法证明线段间的不等关系的方法:从结论出发，先构造三角形，把相关线段尽可能地集中在一个三角形中，然后运用“三角形任意两边的和大于第三边”，得出几个同向不等式，最后通过变形得出结论.