《2025年一遍过八年级数学上册人教版》

1 [2025杭州华东师大附中期中]

如图,D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BD⊥CD,∠A= ∠ABD,若BD= 1,BC= 3,则AC的长为 ( )

A.5
B.4
C.3
D.2

答案：
1 A 如图,延长BD与AC交于点E(平分+垂直，延长构等腰).
∵∠A = ∠ABD,
∴BE = AE.
∵BD⊥CD,
∴BE⊥CD.
∵CD平分∠ACB,
∴∠BCD = ∠ECD,
∴∠EBC = ∠BEC,
∴BC = CE.
∵BE⊥CD,
∴2BD = BE;
∵BD = 1,BC = 3,
∴BE = 2,CE = 3,
∴AE = BE = 2,
∴AC = AE + EC = 2 + 3 = 5.策略点拨等腰三角形的性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决.

2 [2024呼和浩特期中]如图,在△ABC中,AB= AC,∠BAC= 90°,CD平分∠ACB,BE⊥CD交CD的延长线于点E.求证：CD= 2BE.

答案：
2 证明:如图,延长CA交BE的延长线于点F.
∵BE⊥CE,∠BAC = 90°,
∴∠BED = ∠CEF = ∠BAC = ∠BAF = 90°.
∵CD平分∠ACB,
∴∠1 = ∠2.在△CEF和△CEB中，∠1 = ∠2，CE = CE，∠CEF = ∠CEB，
∴△CEF≌△CEB(ASA),
∴EF = BE,
∴BF = 2BE.
∵∠4 = ∠5,
∴∠1 = ∠3(点拨:等角的余角相等).在△ACD和△ABF中，∠1 = ∠3，AC = AB，∠CAD = ∠BAF，
∴△ACD≌△ABF,
∴CD = BF,
∴CD = 2BE.

3 [2024池州贵池区期末]在等边三角形ABC中,点E在AB边上,点D在CB的延长线上,且ED= EC.
(1)【特殊情况,探索结论】
如图1,当E为AB的中点时,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论：AE____DB.(填“＞”“＜”或“=”)
(2)【特例启发,解答题目】
如图2,当点E为AB边上任意一点时,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论,AE____DB(填“＞”“＜”或“=”),理由如下：
如图2,过点E作EF//BC,交AC于点F……(请你完成解答过程)
(3)【拓展结论,设计新题】
在等边三角形ABC中,点E在AB的延长线上,点D在CB的延长线上,且ED= EC,若△ABC的边长为1,AE= 2,求CD的长.(请你直接写出结果,并画出相应的图形)

答案： 3 解:
(1)=
(2)=
理由如下:如题图2,过点E作EF//BC,交AC于点F,由△ABC为等边三角形,易知△AEF为等边三角形，可得AB = AC,AE = AF = EF,∠ABC = ∠ACB = 60°,
∴AB - AE = AC - AF,即BE = FC.
∵ED = EC,
∴∠D = ∠ECD,
∵∠DEB = ∠ABC - ∠D = 60° - ∠D,∠ECF = ∠ACB - ∠ECD = 60° - ∠ECD,
∴∠DEB = ∠ECF.在△DBE和△EFC中，DE = EC，∠DEB = ∠ECF，BE = FC，
∴△DBE≌△EFC(SAS),
∴DB = EF,
∴AE = DB.
(3)CD的长为3,图形如图所示.
解法提示:如图,当点E在AB的延长线上时，作EF//AC交CB的延长线于点F,则△EFB为等边三角形，同
(2)可证△DBE≌△CFE,
∴DB = FC,
∴DB - BF = FC - BF,即DF = BC.由AB = 1,AE = 2,易得BF = BE = 1,BC = AB = 1,
∴CD = DF + BF + BC = 3.