《2025年一遍过八年级数学上册人教版》

10 [2025开封通许期中]若$x^{2} - y^{2} = 4$,则$(x - y)^{2}(x + y)^{2}$的值为( )

A.4
B.16
C.24
D.32

答案： B $\because x^{2}-y^{2}=4,\therefore (x-y)^{2}(x+y)^{2}=[(x-y)(x+y)]^{2}=(x^{2}-y^{2})^{2}=4^{2}=16.$

11 新趋势·代数推理已知$n$是整数,则代数式$(n + 3)(n - 3) - (n + 2)(n - 2)$的值能被下列哪个数整除？( )

A.4
B.3
C.5
D.2

答案： C $(n+3)(n-3)-(n+2)(n-2)=(n^{2}-9)-(n^{2}-4)=n^{2}-9-n^{2}+4=-5$,-5能被5整除.

12 [2024德州陵城区期末]若$(a^{2} + b^{2} + 1)(a^{2} + b^{2} - 1) = 35$,则$a^{2} + b^{2}$的值为( )

A.3
B.6
C.$\pm 3$
D.$\pm 6$

答案： B $\because (a^{2}+b^{2}+1)(a^{2}+b^{2}-1)=[(a^{2}+b^{2})+1]\cdot [(a^{2}+b^{2})-1]=(a^{2}+b^{2})^{2}-1=35,\therefore (a^{2}+b^{2})^{2}=36.\because a^{2}+b^{2}≥0,\therefore a^{2}+b^{2}=6.$

13 从前,一位地主把一块边长为$a米(a ＞ 6)$的正方形土地租给租户张老汉.第二年,他对张老汉说：“我把这块地的一边增加6米,相邻的另一边减少6米,变成长方形土地继续租给你,租金不变,你也没有吃亏,你看如何？”如果这样,你觉得张老汉的租地面积会( )

A.没有变化
B.变大
C.变小
D.无法确定

答案： C 根据题意,得原来土地的面积为$a^{2}$平方米,变成长方形土地后的面积为$(a+6)(a-6)=(a^{2}-36)$(米²).因为$(a^{2}-36)-a^{2}=-36＜0$,所以张老汉的租地面积变小了.

14 [2024广安期末]如图,点$D$,$C$,$H$,$G分别在长方形ABJI$的边上,点$E$,$F在CD$上.若正方形$ABCD$的面积是15,图中阴影部分的面积总和为6,则正方形$EFGH$的面积是______.

答案： 3 解题思路:设正方形ABCD、正方形EFGH的边长分别为a,b,分别用含a,b的式子表示正方形ABCD的面积和题图中阴影部分的面积($\triangle AEI$和$\triangle BFJ$的底均为$a+b$,高分别为DE,FC,而$DE+FC=a-b$),即可求出正方形EFGH的面积.
设正方形ABCD、正方形EFGH的边长分别为a,b,则$a^{2}=15$,题图中阴影部分的面积为$S_{\triangle AEI}+S_{\triangle BFJ}=\frac {1}{2}AI\cdot DE+\frac {1}{2}BJ\cdot FC=\frac {1}{2}(a+b)(a-b)=6$,所以$a^{2}-b^{2}=12$,所以$b^{2}=3$,所以正方形EFGH的面积是3.

15 [2024济宁中考]先化简,再求值：$x(y - 4x) + (2x + y)(2x - y)$,其中$x = \frac{1}{2}$,$y = 2$.

答案： 解:$x(y-4x)+(2x+y)(2x-y)$
$=xy-4x^{2}+4x^{2}-y^{2}$
$=xy-y^{2}.$
当$x=\frac {1}{2},y=2$时,原式$=\frac {1}{2}×2-2^{2}=1-4=-3.$

16 运算能力[2025上饶鄱阳期末]解决下列问题.
(1)填空：
$(a - b)(a + b) = $______；
$(a - b)(a^{2} + ab + b^{2}) = $______；
$(a - b)(a^{3} + a^{2}b + ab^{2} + b^{3}) = $______.
(2)类推：$(a - b)(a^{n - 1} + a^{n - 2}b + … + ab^{n - 2} + b^{n - 1}) = $______(其中$n$为正整数,且$n \geq 2$).
(3)利用(2)中的结论计算：
①$2^{21} + 2^{20} + 2^{19} + … + 2^{3} + 2^{2} + 2 + 1$；
②$7^{16} - 7^{15} + 7^{14} - 7^{13} + 7^{12} - 7^{11} + … - 7^{3} + 7^{2} - 7$.

答案： 解:
(1)$a^{2}-b^{2}$ $a^{3}-b^{3}$ $a^{4}-b^{4}$
(2)$a^{n}-b^{n}$
(3)①$2^{21}+2^{20}+2^{19}+... +2^{3}+2^{2}+2+1$
$=(2-1)(2^{21}+2^{20}+2^{19}+... +2^{3}+2^{2}+2+1)$
$=2^{22}-1.$
②$7^{16}-7^{15}+7^{14}-7^{13}+7^{12}-7^{11}+... -7^{3}+7^{2}-7$
$=\frac {1}{8}\{ [7-(-1)][7^{16}+7^{15}×(-1)+7^{14}×(-1)^{2}+7^{13}×(-1)^{3}+7^{12}×(-1)^{4}+7^{11}×(-1)^{5}+... +7^{3}×(-1)^{13}+7^{2}×(-1)^{14}+7×(-1)^{15}]\}$
$=\frac {7^{17}-(-1)^{17}}{8}-1$
$=\frac {7^{17}+1}{8}-1$
$=\frac {7^{17}-7}{8}.$