《2025年一遍过八年级数学上册人教版》

1 [2024湛江二十九中期中]若等腰三角形一个外角等于$100^{\circ }$,则与它不相邻的两个内角的度数分别为 ( )

A.$40^{\circ },40^{\circ }$
B.$80^{\circ },20^{\circ }$
C.$50^{\circ },50^{\circ }$
D.$80^{\circ },20^{\circ }或50^{\circ },50^{\circ }$

答案： D 当该等腰三角形顶角的外角等于100°时，与它不相邻的两个内角为底角，则与它不相邻的两个内角的度数=$\frac{1}{2}×100°=50°$；当该等腰三角形底角的外角等于100°时，则与它不相邻的两个内角为一个底角和一个顶角，底角度数为180°−100°=80°，顶角度数为100°−80°=20°。综上，与它不相邻的两个内角的度数分别为80°，20°或50°，50°。

2 [2024珠海香洲区期末]如图,在$3×3$的方格中,A,B两点都在小方格的格点上,若点C也在格点上,且$\triangle ABC$是等腰三角形,则点C的个数为 ( )


A.1
B.2
C.3
D.4

答案：
C 如图，当AB为腰时，点C的个数有2个（$C_1$，$C_2$），当AB为底边时，点C的个数只有1个（$C_3$），
∴点C的个数为3。

3 数学课上,张老师举了下面的例题:
例1 在等腰三角形ABC中,$∠A= 110^{\circ }$,求$∠B$的度数.
(答案:$35^{\circ }$)
例2 在等腰三角形ABC中,$∠A= 40^{\circ }$,求$∠B$的度数.
(答案:$40^{\circ }或70^{\circ }或100^{\circ }$)
张老师启发同学们进行变式,小敏编了如下一题:
变式 在等腰三角形ABC中,$∠A= 80^{\circ }$,求$∠B$的度数.
(1)请你解答该变式题;
(2)解完第(1)题后,小敏发现,$∠A$的度数不同,得到的$∠B$的度数的个数也可能不同,如果在等腰三角形ABC中,设$∠A= x$,当$∠B$有三个不同的度数时,请你探索x的取值范围.

答案： 解：
(1)分以下三种情况讨论：
若∠A为顶角，则∠B=$\frac{1}{2}(180°−∠A)=50°$。
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B=180°−2×80°=20°。
若∠A为底角，∠B为底角，则∠B=∠A=80°。
综上，∠B的度数为50°或20°或80°。
(2)分以下两种情况讨论：
①当90°≤x＜180°时，∠A只能为顶角，此时∠B的度数只有
②当0°＜x＜90°时，
若∠A为顶角，则∠B=$\frac{180°−x}{2}$。
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B=180°−2x。
若∠A为底角，∠B为底角，则∠B=x。
∵∠B有三个不同的度数，
∴$\frac{180°−x}{2}≠180°−2x$且180°−2x≠x且$\frac{180°−x}{2}≠x$，
∴x≠60°。
综上，当0°＜x＜90°且x≠60°时，∠B有三个不同的度数。

4 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为$30^{\circ }$,求它的底角的度数.

答案：
解：分以下两种情况讨论：
①当等腰三角形是锐角三角形时，如图1。
AB=AC，BD⊥AC，∠ABD=30°，
∴∠A=60°，
∴∠C=∠ABC=$\frac{1}{2}(180°−∠A)=60°$。
②当等腰三角形是钝角三角形时，如图2。
AB=AC，BD⊥AC，∠ABD=30°，
∴∠BAC=∠BDA+∠ABD=120°，
∴∠C=∠ABC=$\frac{1}{2}(180°−∠BAC)=30°$。
综上，它的底角的度数为30°或60°。
　
易错分析
对等腰三角形腰上的高的位置考虑不全面致错
等腰三角形的顶角 腰上的高的位置 图示
锐角 在三角形内

直角 与直角边重合
钝角 在三角形外

5 在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,AB的垂直平分线交AB于点D,交直线AC于点E,连接BE,$∠AEB= 80^{\circ }$,求$∠EBC$的度数.

答案：
解：分以下两种情况讨论：
①当∠BAC是锐角时，如图1。
∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠BAC=∠ABE；
∵∠AEB=80°，
∴∠BAC=∠ABE=$\frac{1}{2}×(180°−80°)=50°$。
∵AB=AC，
∴∠ABC=$\frac{1}{2}×(180°−50°)=65°$，
∴∠EBC=∠ABC−∠ABE=15°。
②当∠BAC是钝角时，如图2。
∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠BAE=∠EBA。
∵∠AEB=80°，
∴∠BAE=∠EBA=$\frac{1}{2}×(180°−80°)=50°$，
∴∠BAC=130°。
∵AB=AC，
∴∠ABC=$\frac{1}{2}×(180°−130°)=25°$，
∴∠EBC=∠EBA+∠ABC=75°。
综上，∠EBC的度数为15°或75°。