《2025年玩转全课程七年级数学》

(1)光线从空气中射入水中会产生折射现象,光线从水中射入空气中也会产生折射现象. 如图1,光线$a$从空气中射入水中,再从水中射入空气中,形成光线$b$,根据光学知识有$∠1= ∠2$,$∠3= ∠4$,请判断光线$a与光线b$是否平行,并说明理由.
(2)光线照射到镜面会产生反射现象,由光学知识得知,入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等,如图2有一口井,已知入射光线$a与水平线OC的夹角为36^{\circ}$,问如何放置平面镜$MN$,可使反射光线$b$正好垂直照射到井底？(即求$MN$与水平线的夹角)
(3)如图3,直线$EF上有两点A$、$C$,分别引两条射线$AB$、$CD$.$∠BAF= 110^{\circ}$,$∠DCF= 50^{\circ}$,射线$AB$、$CD分别绕A$点,$C$点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动,设时间为$t$,在射线$CD$转动一周的时间内,当$t= $______时,$CD与AB$平行.

答案：

(1)平行.理由如下:

如图1，
∵∠3 = ∠4,
∴∠5 = ∠6,
∵∠1 = ∠2,
∴∠1 + ∠5 = ∠2 + ∠6,
∴a//b.
(2)如图2:

∵入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，
∴∠1 = ∠2,
∵入射光线a与水平线OC的夹角为36°，b垂直照射到井底，
∴∠1 + ∠2 = 180° - 36° - 90° = 54°,
∴∠1 = $\frac{1}{2}$×54° = 27°,
∴MN与水平线的夹角为:27° + 36° = 63°,
即MN与水平线的夹角为63°，可使反射光线b正好垂直照射到井底.
(3)10秒或100秒.
如图3①，AB与CD在EF的两侧时，
∵∠BAF = 110°,∠DCF = 50°,
∴∠ACD = 180° - 50° - 3t° = 130° - 3t°,∠BAC = 110° - t°,要使AB//CD，则∠ACD = ∠BAC,即130 - 3t = 110 - t,解得t = 10,
∵此时(180° - 50°)÷3 = $\frac{130}{3}$,
∴0 ＜ t ＜ $\frac{130}{3}$,
如图3②，CD旋转到与AB都在EF的右侧时，
∵∠BAF = 110°,∠DCF = 50°,
∴∠DCF = 360° - 3t° - 50° = 310° - 3t°,∠BAC = 110° - t°,
要使AB//CD，则∠DCF = ∠BAC，即310 - 3t = 110 - t,解得t = 100,
此时(360° - 50°)÷3 = $\frac{310}{3}$,
∴$\frac{130}{3}$ ＜ t ＜ $\frac{310}{3}$,
如图3③，CD旋转到与AB都在EF的左侧时，
∵∠BAF = 110°,∠DCF = 60°,
∴∠DCF = 3t° - (180° - 50° + 180°) = 3t° - 310°,∠BAC = t° - 110°,
要使AB//CD，则∠DCF = ∠BAC，即3t - 310 = t - 110，解得t = 100,此时t ＞ 110,
∵100 ＜ 110，
∴此情况不存在.
∴综上所述，t为10秒或100秒时，CD与AB平行.