《2025年玩转全课程七年级数学》

【问题提出】定义：任意两个数a,b,按规则$c = ab + a + b$扩充得到一个新数c,称所得的新数c为“如意数”.
(1)若$a = \sqrt{2}$,$b = 1$,直接写出a,b的“如意数”c.
(2)如果$a = m - 4$,$b = - m$,求a,b的“如意数”c,并证明“如意数”$c \leq 0$.
(3)已知$a = x^{2} - 1(x \neq 0)$,且a,b的“如意数”$c = x^{3} + 3x^{2} - 1$,求b(用含x的式子表示).
【问题分析】(1)根据“如意数”的定义即可判断.(2)利用配方法即可解决问题.(3)根据“如意数”的定义,构建方程求出b即可.
【问题解决】
【问题反思】本题考查因式分解的应用,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.

答案：
(1) $ c = \sqrt { 2 } × 1 + \sqrt { 2 } + 1 = 2 \sqrt { 2 } + 1 $。
(2) $ \because c = ( m - 4 ) ( - m ) + ( m - 4 ) + ( - m ) = - m ^ { 2 } + 4 m - 4 = - ( m - 2 ) ^ { 2 } \leq 0 $，
$ \therefore c \leq 0 $。
(3) 由题意 $ x ^ { 3 } + 3 x ^ { 2 } - 1 = ( x ^ { 2 } - 1 ) b + ( x ^ { 2 } - 1 ) + b $，$ \therefore x ^ { 2 } b = x ^ { 3 } + 2 x ^ { 2 } $，$ \because x \neq 0 $，
$ \therefore b = x + 2 $。