《2025年玩转全课程七年级数学》

2. (1)有长方形和正方形硬纸片如图1所示,用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形,如图2所示.

①用两种不同的方法,计算图2中长方形的面积；
②由此,你可以得出的一个等式为：______$a^{2}+2a + 1=(a + 1)^{2}$.
(2)有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示.
①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式,画出你的拼图；
②请你用拼图等方法推出$2a^{2} + 5ab + 2b^{2}$因式分解的结果,画出你的拼图.

答案：
(1)①方法一：图2由1个边长为$a$的正方形、2个长为$a$宽为1的长方形和1个边长为1的正方形组成，面积为$a^{2}+2× a×1 + 1^{2}=a^{2}+2a + 1$；方法二：图2长方形的长为$a + 1$，宽为$a + 1$，面积为$(a + 1)(a + 1)=(a + 1)^{2}$。②$a^{2}+2a + 1=(a + 1)^{2}$
(2)①拼图（以$(a + b)^{2}$为例）：用1个边长为$a$的正方形、1个边长为$b$的正方形和2个长为$a$宽为$b$的长方形拼成一个大正方形，大正方形边长为$a + b$，面积为$(a + b)^{2}$，同时面积也为$a^{2}+2ab + b^{2}$，故$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$（画图略）。②$2a^{2}+5ab + 2b^{2}=(2a + b)(a + 2b)$，拼图：用2个边长为$a$的正方形、2个边长为$b$的正方形和5个长为$a$宽为$b$的长方形拼成长为$2a + b$宽为$a + 2b$的长方形（画图略）。