《2025年玩转全课程七年级数学》

8. 观察下列各式：
$\frac {1}{2}= \frac {1}{1×2}= 1-\frac {1}{2}$,$\frac {1}{6}= \frac {1}{2×3}= \frac {1}{2}-\frac {1}{3}$,
$\frac {1}{12}= \frac {1}{3×4}= \frac {1}{3}-\frac {1}{4}$,$\frac {1}{20}= \frac {1}{4×5}= \frac {1}{4}-\frac {1}{5}$,…
(1)由此可推导出$\frac {1}{42}=$$\frac{1}{6}-\frac{1}{7}$。
(2)猜想出能表示上述特点的一般规律,用含字母n的等式表示出来(n是正整数)。$\frac{1}{n^{2}+n}=\frac{1}{n(n + 1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1}$
(3)请用(2)中的规律计算：
$\frac {1}{(x+1)(x+2)}+\frac {1}{(x+2)(x+3)}+...+\frac {1}{(x+99)(x+100)}$
解: 原式$=\frac{1}{x + 1}-\frac{1}{x + 2}+\frac{1}{x + 2}-\frac{1}{x + 3}+\cdots+\frac{1}{x + 99}-\frac{1}{x + 100}$
$=\frac{1}{x + 1}-\frac{1}{x + 100}$
$=\frac{99}{(x + 1)(x + 100)}$

答案：
(1) $\frac{1}{6}-\frac{1}{7}$
(2) $\frac{1}{n^{2}+n}=\frac{1}{n(n + 1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1}$
(3) 解: 原式$=\frac{1}{x + 1}-\frac{1}{x + 2}+\frac{1}{x + 2}-\frac{1}{x + 3}+\cdots+\frac{1}{x + 99}-\frac{1}{x + 100}$
$=\frac{1}{x + 1}-\frac{1}{x + 100}$
$=\frac{99}{(x + 1)(x + 100)}$

经过本节课的学习,你能用所学知识解决下面的问题吗？
解方程：$\frac {x}{x-1}-\frac {2}{x^{2}-1}= 1$。

答案： 解: 去分母后得到$x(x + 1)-2 = x^{2}-1$，合并同类项可得$x = 1$.
$x - 1 = 0$，故该方程无实数根.