《2025年玩转全课程七年级数学》

10. 已知：$\frac{a}{3} = \frac{b}{4} = \frac{c}{5}$,求分式$\frac{2a + 3b - c}{a - b + 2c}$的值.
解：设$\frac{a}{3} = \frac{b}{4} = \frac{c}{5} = k$,则$a = 3k$,$b = 4k$,$c = 5k$,所以$\frac{2a + 3b - c}{a - b + 2c} = \frac{6k + 12k - 5k}{3k - 4k + 10k} = \frac{13k}{9k} = \frac{13}{9}$.
参照上述材料解题：
(1)已知$\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{6}$,求分式$\frac{x + 2y - z}{x - 2y + 3z}$的值.
(2)已知$\frac{y + z}{x} = \frac{z + x}{y} = \frac{x + y}{z}$,其中$x + y + z \neq 0$,求$\frac{x + y - z}{x + y + z}$的值.

答案：
(1)设$\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{6} = k$，则$x = 2k$，$y = 3k$，$z = 6k$，所以$\frac{x + 2y - z}{x - 2y + 3z} = \frac{2k + 6k - 6k}{2k - 6k + 18k} = \frac{2k}{14k} = \frac{1}{7}$。
(2)设$\frac{y + z}{x} = \frac{z + x}{y} = \frac{x + y}{z} = k$，则$y + z = kx$，$z + x = ky$，$x + y = kz$，三式相加得$2(x + y + z) = k(x + y + z)$，因为$x + y + z \neq 0$，所以$k = 2$，即$x + y = 2z$，所以$\frac{x + y - z}{x + y + z} = \frac{2z - z}{2z + z} = \frac{z}{3z} = \frac{1}{3}$。

思考：$\frac{a^{2}}{a}$是分式还是整式？小明是这样想的：因为$\frac{a^{2}}{a} = a^{2} ÷ a = a$,而a是一个整式,所以$\frac{a^{2}}{a}$是一个整式,你认为小明的想法正确吗？请作简要说明.

答案： 小明的想法不正确。
$\frac{a^{2}}{a}$是分式，因为其形式符合分式的定义（分母中含有字母）。
虽然$\frac{a^{2}}{a}$化简后为整式$a$，但二者的取值范围不同（$\frac{a^{2}}{a}$中$a\neq0$，而$a$中$a$可取任意实数），故$\frac{a^{2}}{a}$是分式。