《2025年玩转全课程七年级数学》

小明在做《数学》课本“目标与评定”中的一道题：如图1,直线$a$,$b$所成的角跑到画板外面去了,你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数吗？小明的做法是：如图2,画$PC// a$,量出直线$b与PC$的夹角度数,即直线$a$,$b$所成角的度数.

(1)请写出这种做法的理由.
(2)小明在此基础上又进行了如下操作和探究(如图3)：①以$P$为圆心,任意长为半径画圆弧,分别交直线$b$,$PC于点A$,$D$；②连结$AD并延长交直线a于点B$,请写出图3中所有与$∠PAB$相等的角,并说明理由.(提示：题目解答涉及等腰三角形的性质,请参阅浙教版《数学》教材八年级上册相关内容)
(3)请在图3画板内作出“直线$a$,$b$所成的跑到画板外面去的角”的平分线(画板内的部分),要求作出图形,并保留作图痕迹.(提示：题目解答涉及等腰三角形“三线合一”的性质和中垂线的尺规作图方法,请参阅浙教版《数学》教材八年级上册相关内容)

答案：
解:
(1)两直线平行，同位角相等.
(2) $\angle PAB=\angle PDA=\angle BDC=\angle 1$，
如图，$\because PA=PD$，
$\therefore \angle PAB=\angle PDA$，
$\because \angle BDC=\angle PDA$（对顶角相等），
又$\because PC// a$，
$\therefore \angle PDA=\angle 1$，
$\therefore \angle PAB=\angle PDA=\angle BDC=\angle 1$.

(3)如图，作线段$AB$的垂直平分线$EF$，则$EF$是所求作的图形.