《2025年玩转全课程七年级数学》

8. 长方形的面积为 $ 4 a ^ { 2 } - 6 a b + 2 a $,若它的一个边长为 $ 2 a $,则它的周长是$8a - 6b + 2$.

答案： $8a - 6b + 2$

9. 如果 $ x ^ { m } = 4 $，$ x ^ { n } = 8 $（$ m $，$ n $ 为自然数），那么 $ x ^ { 3 m - n } = $______8。

答案： 8

10. 学习了《整式的乘除》这一章之后,小明由小学除法运算时碰到的余数问题,联想到多项式除法也会出现的余式问题.
例如：一个多项式(设该多项式为 $ A $)除以 $ 2 x + 1 $ 的商为 $ x - 2 $,余式为 $ 4 x + 3 $. 这个多项式是多少？
小明通过小学除法的运算法则(被除数 $ = $ 商 $ × $ 除数 $ + $ 余数)推理出多项式除法法则：被除式 $ = $ 商 $ × $ 除式 $ + $ 余式. 由此得出多项式 $ A = ( x - 2 ) ( 2 x + 1 ) + 4 x + 3 = 2 x ^ { 2 } + x + 1 $.
(1)上述过程中,小明把小学除法的运算法则运用在多项式除法运算上,这里运用的数学思想是(A)
A. 类比思想
B. 公理化思想
C. 函数思想
D. 数形结合思想
(2)小明继续探究：如果一个多项式除以 $ 2 x ^ { 2 } - 3 $ 的商为 $ 7 x - 4 $,余式为 $ - 5 x + 2 $,那么请你根据以上法则求出该多项式.
解：设该多项式为 $ B $，根据多项式除法法则：被除式 = 商 × 除式 + 余式，可得：
$ B=(7x - 4)(2x^{2}-3)+(-5x + 2) $
$=7x\cdot2x^{2}+7x\cdot(-3)-4\cdot2x^{2}-4\cdot(-3)-5x + 2 $
$=14x^{3}-21x - 8x^{2}+12 - 5x + 2 $
$=14x^{3}-8x^{2}-26x + 14$

答案：
(1) A
(2) 解：设该多项式为 $ B $，根据多项式除法法则：被除式 = 商 × 除式 + 余式，可得：
$ B=(7x - 4)(2x^{2}-3)+(-5x + 2) $
$=7x\cdot2x^{2}+7x\cdot(-3)-4\cdot2x^{2}-4\cdot(-3)-5x + 2 $
$=14x^{3}-21x - 8x^{2}+12 - 5x + 2 $
$=14x^{3}-8x^{2}-26x + 14$