《2025年玩转全课程七年级数学》

6. 计算：(1)$(x + 3)(x - 1) - x(x - 2) + 1$.
(2)$(x^{2} - 1)(x + 1) - (x^{2} - 2)(x - 4)$.

答案：
(1) 解：$(x + 3)(x - 1) - x(x - 2) + 1$
$=x^2 - x + 3x - 3 - x^2 + 2x + 1$
$=(x^2 - x^2) + (-x + 3x + 2x) + (-3 + 1)$
$=4x - 2$
(2) 解：$(x^{2} - 1)(x + 1) - (x^{2} - 2)(x - 4)$
$=x^3 + x^2 - x - 1 - (x^3 - 4x^2 - 2x + 8)$
$=x^3 + x^2 - x - 1 - x^3 + 4x^2 + 2x - 8$
$=(x^3 - x^3) + (x^2 + 4x^2) + (-x + 2x) + (-1 - 8)$
$=5x^2 + x - 9$

7. 若$M = (a + 3)(a - 4)$,$N = (a + 2)(2a - 5)$,其中$a$为有理数,则$M与N$的大小关系为(B)
A.$M ＞ N$
B.$M ＜ N$
C.$M = N$
D.无法确定

答案： B

8. 规定：$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} = ad - bc$,按照这个规定请你计算：当$3x^{2} - 9x - 1 = 0$时,$\begin{vmatrix}x + 1&3x\\x - 2&x - 1\end{vmatrix} $的值为$-\frac{5}{3}$.

答案： $-\frac{5}{3}$

9. 用一张包装纸包一本长、宽、厚如图所示的书(单位：$\mathrm{cm}$),如果将封面和封底每一边都包进去$3\mathrm{cm}$. 则需长方形的包装纸$2a^{2} + 19a - 10$$\mathrm{cm}^{2}$.

答案： $2a^{2} + 19a - 10$

10. “数形结合”是数学上一种重要的数学思想,在整式乘法中,我们常用图形面积来解释一些公式. 如图1,通过观察大长方形面积,可得：$(2a + b)(a + b) = 2a^{2} + 3ab + b^{2}$.
(1)如图2,通过观察大正方形的面积,可以得到一个乘法公式,直接写出此公式.

(2)现有若干张如图3的三种纸片,$A是边长为a$的正方形,$B是边长为b$的正方形,$C是长为a$,宽为$b$的长方形. 现要无缝无重叠拼出一个长为$(2a + b)$,宽为$(3a + 2b)$的长方形,需要$A型纸片x$张,$B型纸片y$张,$C型纸片z$张. 请直接写出$x + y + z$的值.
(3)图4是由图3中的两张$A型纸片和两张B$型纸片排成的一个正方形,其中两张$A$型纸片有重叠(图中阴影部分),直接写出阴影部分的面积(用含$a$,$b$的式子表示).
(4)若图2也是由图3中的三种纸片拼成的,且图2中的阴影部分面积为17,图4中的阴影部分面积为8. 求图2整个正方形的面积.

答案：
(1) $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$
(2) 15
(3) $(a - b)^{2}$
(4) 26