《2025年玩转全课程七年级数学》

7. 将$4x^{2} + 1$再加上一项,不能化成$(a + b)^{2}$形式的是(D)
A.4x
B.- 4x
C.$4x^{4}$
D.$16x^{4}$

答案： D

8. 若$a^{2} + 2a = 1$,则$2a^{2} + 4a + 1 = $3.

答案： 3

9. 将$24 × 25 × 26 × 27 + 1$表示成一个自然数的平方,这个自然数是649；若从一个正整数a开始,连续的四个整数的积再加上1,也可以用一个自然数的平方表示所得结果,即$a × (a + 1) × (a + 2) × (a + 3) + 1 = A^{2}$,其中a为正整数,则这个自然数$A = $$a^{2}+3a+1$.

答案： 649 $ a ^ { 2 } + 3 a + 1 $

10. 若一个整数能表示成$a^{2} + b^{2}$(a,b为整数)的形式,则称这个数为“完美数”. 例如,$5 = 2^{2} + 1^{2}$,所以5是一个“完美数”.
(1)请你再写一个大于10且小于20的“完美数”：______13.
(2)已知M是一个“完美数”,且$M = x^{2} + 4xy + 5y^{2} - 12y + k$(x,y是两个任意整数,k是常数),则k的值为______36.

答案：
(1) $ \because 13 = 2 ^ { 2 } + 3 ^ { 2 } $，$ \therefore 13 $是完美数. 答案为13.
(2) $ \because M = x ^ { 2 } + 4 x y + 5 y ^ { 2 } - 12 y + k = ( x + 2 y ) ^ { 2 } + ( y - 6 ) ^ { 2 } + k - 36 $。
$ \therefore k = 36 $时，M是完美数. 答案为36.

1. 在现今“互联网+”的时代,密码与我们的生活已经密不可分. 诸如“123456”、生日等简单密码很容易被破解,因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码是很有必要的. 有一种用“因式分解法”产生的密码方便记忆,其原理是：将一个多项式分解因式,如多项式$x^{3} + 2x^{2} - x - 2因式分解的结果为(x - 1)(x + 1)(x + 2)$,当$x = 18$时,$x - 1 = 17$,$x + 1 = 19$,$x + 2 = 20$,此时可以得到数字密码171920.
(1)根据上述方法,当$x = 21$,$y = 7$时,对于多项式$x^{3} - xy^{2}$分解因式后可以形成多个数字密码,请写出最小的数字密码.
(2)若一个直角三角形的周长是24,斜边长为10,其中两条直角边分别为x,y,求出一个由多项式$x^{3}y + xy^{3}$分解因式后得到的密码(只需1个即可).
(3)若多项式$x^{3} + (m - 3n)x^{2} - nx - 21$因式分解后,利用本题的方法,当$x = 27$时可以得到其中一个密码为242834,求m,n的值.

答案：
(1) $ x ^ { 3 } - x y ^ { 2 } = x ( x - y ) ( x + y ) $，当 $ x = 21 $，$ y = 7 $时，$ x - y = 14 $，$ x + y = 28 $，可得最小的数字密码是142128.
(2) 由题意得 $ \left\{ \begin{array} { l } { x + y = 14 , } \\ { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 100 , } \end{array} \right. $可得 $ x y = 48 $，而 $ x ^ { 3 } y + x y ^ { 3 } = x y ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) $，得数字密码为48100.
(3) 由题意得 $ x ^ { 3 } + ( m - 3 n ) x ^ { 2 } - n x - 21 = ( x - 3 ) ( x + 1 ) ( x + 7 ) $，
$ \because ( x - 3 ) ( x + 1 ) ( x + 7 ) = x ^ { 3 } + 5 x ^ { 2 } - 17 x - 21 $，
$ \therefore x ^ { 3 } + ( m - 3 n ) x ^ { 2 } - n x - 21 = x ^ { 3 } + 5 x ^ { 2 } - 17 x - 21 $，$ \therefore \left\{ \begin{array} { l } { m - 3 n = 5 , } \\ { n = 17 , } \end{array} \right. $解得 $ \left\{ \begin{array} { l } { m = 56 , } \\ { n = 17 , } \end{array} \right. $ $ \therefore m $，n的值分别是56，17.