《2025年暑假课程练习八年级数学南方出版社》

18. 阅读下面的例题，并解答后面的问题：
例：$\frac {1}{\sqrt {2}+1}=\frac {\sqrt {2}-1}{(\sqrt {2}+1)(\sqrt {2}-1)}=\sqrt {2}-1$；
$\frac {1}{\sqrt {3}+\sqrt {2}}=\frac {\sqrt {3}-\sqrt {2}}{(\sqrt {3}+\sqrt {2})(\sqrt {3}-\sqrt {2})}=\sqrt {3}-\sqrt {2}$。
像这样把分母中的根号化去的过程叫做分母有理化。
根据上面的方法，试比较$\frac {1}{\sqrt {6}-\sqrt {5}}$与$\frac {1}{\sqrt {7}-\sqrt {6}}$的大小。
$\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}＜\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}$

答案： 【解析】：
首先对$\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}$进行分母有理化：
$\begin{aligned}\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}&=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}}{(\sqrt{6}-\sqrt{5})(\sqrt{6}+\sqrt{5})}\\&=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}}{(\sqrt{6})^{2}-(\sqrt{5})^{2}}\\&=\sqrt{6}+\sqrt{5}\end{aligned}$
然后对$\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}$进行分母有理化：
$\begin{aligned}\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}&=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{6}}{(\sqrt{7}-\sqrt{6})(\sqrt{7}+\sqrt{6})}\\&=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{6}}{(\sqrt{7})^{2}-(\sqrt{6})^{2}}\\&=\sqrt{7}+\sqrt{6}\end{aligned}$
因为$\sqrt{6}+\sqrt{5}＜\sqrt{7}+\sqrt{6}$，所以$\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}＜\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}$。
【答案】：$\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}＜\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}$