《2025年暑假课程练习八年级数学南方出版社》

16. 如图，在$□ ABCD$中，$O$是对角线$AC$的中点，过点$O$作$AC$的垂线与边$AD$，$BC$分别交于点$E$，$F$。
求证：四边形$AFCE$是菱形。

证明：先证$\triangle AOE\cong\triangle COF(ASA)$，得$OE = OF$，结合$AO = CO$，证得四边形$AFCE$是平行四边形，再由$EF\perp AC$，证得四边形$AFCE$是菱形。

答案： 【解析】：
- 因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，则$\angle EAO=\angle FCO$。
- 又因为$O$是$AC$中点，所以$AO = CO$。
- 且$\angle AOE=\angle COF = 90^{\circ}$（已知$EF\perp AC$），根据$ASA$（角边角）定理可得$\triangle AOE\cong\triangle COF$。
- 由全等可得$OE = OF$。
- 因为$AO = CO$，$OE = OF$，所以四边形$AFCE$是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
- 又因为$EF\perp AC$，所以平行四边形$AFCE$是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。
【答案】：
先证$\triangle AOE\cong\triangle COF(ASA)$，得$OE = OF$，结合$AO = CO$，证得四边形$AFCE$是平行四边形，再由$EF\perp AC$，证得四边形$AFCE$是菱形。

17. 如图，四边形$ABCD$是菱形，已知$BE\perp AD$，$BF\perp CD$，垂足分别为$E$，$F$。
(1) 求证：$BE = BF$；
(2) 当菱形$ABCD$的对角线$AC = 8$，$BD = 6$时，求$BE$的长。
(1) 证明：∵ 四边形 $ABCD$ 是菱形，∴ $AB = CB$，$\angle A = \angle C$。∵ $BE \perp AD$，$BF \perp CD$，∴ $\angle AEB = \angle CFB = 90^{\circ}$，∴ $\triangle ABE \cong \triangle CBF$(AAS)，∴ $BE = BF$。
(2) 解：连接 $AC$，$BD$。∵ 对角线 $AC = 8$，$BD = 6$，∴ 对角线的一半分别为 4,3，∴ 菱形的边长为 $\sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5$，$S_{菱形ABCD} = AD \cdot BE = \frac{1}{2}AC \cdot BD = 5BE = \frac{1}{2} × 8 × 6$，故 $BE =$$\frac{24}{5}$。

答案：
(1) 证明：
∵ 四边形 $ABCD$ 是菱形，
∴ $AB = CB$，$\angle A = \angle C$。
∵ $BE \perp AD$，$BF \perp CD$，
∴ $\angle AEB = \angle CFB = 90^{\circ}$，
∴ $\triangle ABE \cong \triangle CBF(AAS)$，
∴ $BE = BF$。
(2) 解：连接 $AC$，$BD$。
∵ 对角线 $AC = 8$，$BD = 6$，
∴ 对角线的一半分别为 4,3，
∴ 菱形的边长为 $\sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5$，$S_{菱形ABCD} = AD \cdot BE = \frac{1}{2}AC \cdot BD = 5BE = \frac{1}{2} \times 8 \times 6$，故 $BE = \frac{24}{5}$。