《2025年暑假课程练习八年级数学南方出版社》

19. 已知：$y=\sqrt {x-2}+\sqrt {2-x}-3$，求$(x+y)^{4}$的值。

答案： 【解析】：要使根式$\sqrt{x - 2}$和$\sqrt{2 - x}$有意义，则被开方数须大于等于$0$。
对于$\sqrt{x - 2}$，有$x - 2\geq0$，即$x\geq2$；对于$\sqrt{2 - x}$，有$2 - x\geq0$，即$x\leq2$。
所以$x$只能取$2$。
当$x = 2$时，$y=\sqrt{2 - 2}+\sqrt{2 - 2}-3=-3$。
则$x + y=2+( - 3)=-1$，所以$(x + y)^{4}=(-1)^{4}=1$。
【答案】：$1$

20. 已知：$\sqrt {x+y-3}+\sqrt {x-y-1}=0$，求$xy$的值。

答案： 【解析】：因为二次根式具有非负性，即$\sqrt{a}\geq0$（$a\geq0$）。已知$\sqrt {x + y - 3}+\sqrt {x - y - 1}=0$，两个非负数的和为$0$，则这两个非负数分别为$0$。所以可得方程组$\begin{cases}x + y - 3 = 0\\x - y - 1 = 0\end{cases}$。
将两个方程相加消去$y$可得：$(x + y - 3)+(x - y - 1)=0$，即$x + y - 3+x - y - 1 = 0$，$2x-4 = 0$，$2x=4$，解得$x = 2$。
把$x = 2$代入$x + y - 3 = 0$，可得$2 + y - 3 = 0$，$y=3 - 2 = 1$。
则$xy=2\times1 = 2$。
【答案】：$2$

21. 已知$a=\sqrt {3}+\sqrt {2},b=\sqrt {3}-\sqrt {2}$，求$a^{2}-b^{2}$的值。$4\sqrt{6}$

答案： 【解析】：本题可先根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$对原式进行变形，再将$a=\sqrt {3}+\sqrt {2}$，$b=\sqrt {3}-\sqrt {2}$代入变形后的式子进行计算。
**步骤一：计算$a + b$的值**
将$a=\sqrt {3}+\sqrt {2}$，$b=\sqrt {3}-\sqrt {2}$代入$a + b$可得：
$a + b = (\sqrt {3}+\sqrt {2}) + (\sqrt {3}-\sqrt {2})=\sqrt {3}+\sqrt {2}+\sqrt {3}-\sqrt {2}=2\sqrt {3}$
**步骤二：计算$a - b$的值**
将$a=\sqrt {3}+\sqrt {2}$，$b=\sqrt {3}-\sqrt {2}$代入$a - b$可得：
$a - b = (\sqrt {3}+\sqrt {2}) - (\sqrt {3}-\sqrt {2})=\sqrt {3}+\sqrt {2}-\sqrt {3}+\sqrt {2}=2\sqrt {2}$
**步骤三：计算$a^{2}-b^{2}$的值**
根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，将$a + b = 2\sqrt {3}$，$a - b = 2\sqrt {2}$代入可得：
$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)=2\sqrt {3}×2\sqrt {2}=4\sqrt {6}$
【答案】：$4\sqrt {6}$