《2025年暑假课程练习八年级数学南方出版社》

17. 如图，在正方形$ABCD$中，对角线$AC$与$BD$相交于点$O$，$E$，$F$分别是边$BC$，$CD$上的点，且$\angle EOF=90^{\circ }$。求证：$CE=DF$。

证明：因为四边形$ABCD$是正方形，所以$OC = OD$，$\angle OCD=\angle OCB = 45^{\circ}$，$\angle COD = 90^{\circ}$。
又因为$\angle EOF = 90^{\circ}$，所以$\angle EOC+\angle COF=\angle DOF+\angle COF = 90^{\circ}$，则$\angle EOC=\angle DOF$。
在$\triangle OCE$和$\triangle ODF$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle EOC=\angle DOF\\ OC = OD\\ \angle OCE=\angle ODF\end{array}\right.$，根据ASA定理可得$\triangle OCE\cong\triangle ODF$。
根据全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，所以$CE = DF$。

答案： 【解析】：
因为四边形$ABCD$是正方形，所以$OC = OD$，$\angle OCD=\angle OCB = 45^{\circ}$，$\angle COD = 90^{\circ}$。
又因为$\angle EOF = 90^{\circ}$，所以$\angle EOC+\angle COF=\angle DOF+\angle COF = 90^{\circ}$，则$\angle EOC=\angle DOF$。
在$\triangle OCE$和$\triangle ODF$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle EOC=\angle DOF\\ OC = OD\\ \angle OCE=\angle ODF\end{array}\right.$，根据$ASA$（角边角）定理可得$\triangle OCE\cong\triangle ODF$。
根据全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，所以$CE = DF$。
【答案】：
由上述推理可知$CE = DF$，此题得证。

18. 如图所示，正方形$ABCD$的边长为$3$，$E$、$F$分别是$AB$、$BC$边上的点，且$\angle EDF=45^{\circ }$。将$\triangle DAE$绕点$D$逆时针旋转$90^{\circ }$，得到$\triangle DCM$。
(1)求证：$EF=FM$；
(2)当$AE=1$时，求$EF$的长。
(1)证明：$\because \triangle DAE$逆时针旋转$90^{\circ}$得到$\triangle DCM$，
$\therefore DE = DM,\angle EDM = 90^{\circ},\therefore \angle EDF+\angle FDM = 90^{\circ}$，
$\because \angle EDF = 45^{\circ},\therefore \angle FDM = \angle EDF = 45^{\circ}$。
又$\because DF = DF,\therefore \triangle DEF\cong \triangle DMF,\therefore EF = MF$。
(2)设$EF = MF = x,\because AE = CM = 1$，
$\therefore BF = BM - MF = BM - EF = 4 - x$。
$\because EB = 2$，在$Rt\triangle EBF$中，由勾股定理得，$EB^{2}+BF^{2}=EF^{2}$，
即$2^{2}+(4 - x)^{2}=x^{2}$，解得$x=$$\frac{5}{2}$，即$EF$的长为$\frac{5}{2}$。

答案：
(1)证明：$\because \triangle DAE$逆时针旋转$90^{\circ}$得到$\triangle DCM$，
$\therefore DE = DM,\angle EDM = 90^{\circ},\therefore \angle EDF+\angle FDM = 90^{\circ}$，
$\because \angle EDF = 45^{\circ},\therefore \angle FDM = \angle EDF = 45^{\circ}$。
又$\because DF = DF,\therefore \triangle DEF\cong \triangle DMF,\therefore EF = MF$。
(2)设$EF = MF = x,\because AE = CM = 1$，
$\therefore BF = BM - MF = BM - EF = 4 - x$。
$\because EB = 2$，在$Rt\triangle EBF$中，由勾股定理得，$EB^{2}+BF^{2}=EF^{2}$，
即$2^{2}+(4 - x)^{2}=x^{2}$，解得$x=\frac{5}{2}$，即$EF$的长为$\frac{5}{2}$。

19. 如图，在四边形$ABCD$中，$AB=BC$，对角线$BD$平分$\angle ABC$，$P$是$BD$上一点，过点$P$作$PM\bot AD$，$PN\bot CD$，垂足分别为$M$，$N$。
(1)求证：$\angle ADB=\angle CDB$；
因为$BD$平分$\angle ABC$，所以$\angle ABD = \angle CBD$。又因为$AB = BC$，$BD = BD$（公共边），根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle ABD\cong\triangle CBD$。全等三角形对应角相等，所以$\angle ADB = \angle CDB$。
(2)若$\angle ADC=90^{\circ }$，求证：四边形$MPND$是正方形。
因为$PM\bot AD$，$PN\bot CD$，$\angle ADC = 90^{\circ}$，所以$\angle PMD=\angle PND = 90^{\circ}$，则四边形$MPND$是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）。又因为$\angle ADB = \angle CDB$，$PM\bot AD$，$PN\bot CD$，所以$PM = PN$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。一组邻边相等的矩形是正方形，所以四边形$MPND$是正方形。

答案： 【解析】：
(1) 因为$BD$平分$\angle ABC$，所以$\angle ABD = \angle CBD$。
又因为$AB = BC$，$BD = BD$（公共边），
根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle ABD\cong\triangle CBD$。
全等三角形对应角相等，所以$\angle ADB = \angle CDB$。
(2) 因为$PM\bot AD$，$PN\bot CD$，$\angle ADC = 90^{\circ}$，
所以$\angle PMD=\angle PND = 90^{\circ}$，
则四边形$MPND$是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）。
又因为$\angle ADB = \angle CDB$，$PM\bot AD$，$PN\bot CD$，
所以$PM = PN$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
一组邻边相等的矩形是正方形，所以四边形$MPND$是正方形。
【答案】：
(1) 证明见上述解析。
(2) 证明见上述解析。