《2025年暑假课程练习八年级数学南方出版社》

17. 如图，在$□ ABCD$中，$E$，$F$分别为$AD$，$BC$边的中点，连接$BE$，$DF$. 求证：四边形$BEDF$是平行四边形.
证明：∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，∴ $AD// BC,AD = BC$．
∵ $E,F$ 分别为 $AD,BC$ 边的中点，∴ $ED=\frac{1}{2}AD,BF=\frac{1}{2}BC$，∴ $ED = BF$．
又 ∵ $ED// BF$，∴ 四边形 $BEDF$ 是平行四边形．

答案： 证明：
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $AD// BC,AD = BC$．
∵ $E,F$ 分别为 $AD,BC$ 边的中点，
∴ $ED=\frac{1}{2}AD,BF=\frac{1}{2}BC$，
∴ $ED = BF$．
又
∵ $ED// BF$，
∴ 四边形 $BEDF$ 是平行四边形．

18. 如图，在$\triangle ABC$中，已知$BD$平分$\angle ABC$，$DF// BC$，$EF// AC$. 求证：$BF = CE$.


证明：
- 因为$BD$平分$\angle ABC$，所以$\angle ABD=\angle CBD$。
- 又因为$DF// BC$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$\angle FDB = \angle CBD$。
- 所以$\angle ABD=\angle FDB$，根据“等角对等边”，则$BF = $$FD$。
- 因为$DF// BC$，$EF// AC$，所以四边形$FECD$是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
- 根据平行四边形的性质“平行四边形的对边相等”，可得$FD = $$CE$。
- 因为$BF = FD$，$FD = CE$，所以$BF = CE$。

答案： 【解析】：
- 因为$BD$平分$\angle ABC$，所以$\angle ABD=\angle CBD$。
- 又因为$DF// BC$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$\angle FDB = \angle CBD$。
- 所以$\angle ABD=\angle FDB$，根据“等角对等边”，则$BF = FD$。
- 因为$DF// BC$，$EF// AC$，所以四边形$FECD$是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
- 根据平行四边形的性质“平行四边形的对边相等”，可得$FD = CE$。
- 因为$BF = FD$，$FD = CE$，所以$BF = CE$。
【答案】：$BF = CE$ 得证。

19. 如图，村子里有一四边形的池塘，在它的四个角的顶点$A$，$B$，$C$，$D$处均种了一棵树. 村子准备开挖池塘建渔塘，想使池塘的面积扩大一倍，又想保持树不动，并要求扩建后的池塘为平行四边形的形状，请问能否实现这一设想？若能，请你画出设计的图形；若不能，请说明理由.

能实现，画图略 提示：连接四边形的对角线，向外作全等三角形

答案： 能实现，画图略 提示：连接四边形的对角线，向外作全等三角形