《2025年暑假课程练习八年级数学南方出版社》

9. 计算：(1)$\sqrt {11}+\sqrt {44}-\sqrt {99}=$0；
(2)$\sqrt {8}-3\sqrt {\frac {1}{2}}+\sqrt {2}=$$\frac{3}{2}\sqrt{2}$。

答案：
(1) 0
(2) $\frac{3}{2}\sqrt{2}$

10. 计算：$\sqrt {1\frac {2}{3}}÷\sqrt {\frac {5}{6}}-\sqrt {2}=$0。

答案： 0

11. 若最简二次根式$\sqrt [b-a]{3b}$和$\sqrt {2b-a+2}$可以合并，则$a=$0，$b=$2。

答案： 0, 2

12. 已知$x^{2}+y^{2}-10x-2y+26=0$，则$(\sqrt {x}-y)^{2}$的值是$6 - 2\sqrt{5}$。

答案： $6 - 2\sqrt{5}$

13. 直角三角形的直角边$a=8-\sqrt {2},b=8+\sqrt {2}$，则斜边上的高为$\frac{31\sqrt{33}}{33}$。

答案： $\frac{31\sqrt{33}}{33}$

14. 一个直角三角形的两条直角边长是7和2，第三边长为$x$，则$\sqrt {x^{2}-10x+25}+\sqrt {81-18x+x^{2}}=$4。

答案： 4

15. 已知$x=\sqrt {2}$，则$x-\frac {1}{x}=$$\frac{\sqrt{2}}{2}$。

答案： $\frac{\sqrt{2}}{2}$

16. $(2-\sqrt {5})^{2023}\cdot (2+\sqrt {5})^{2024}=$$-2 - \sqrt{5}$。

答案： $-2 - \sqrt{5}$

17. 计算：
(1)$2(\sqrt {12}+\sqrt {20})-3(\sqrt {3}-\sqrt {5})$；
(2)$(\sqrt {5}-\sqrt {3}-\sqrt {2})(\sqrt {5}-\sqrt {3}+\sqrt {2})$；
(3)$(\sqrt {\frac {8}{27}}-5\sqrt {3})×\sqrt {6}$；
(4)$(\frac {1}{2}a\sqrt {4a}+6a\sqrt {\frac {8}{9a}}-2a^{2}\sqrt {\frac {1}{a}})÷\sqrt {a}$；
(5)$(2\sqrt {\frac {3}{2}}-\sqrt {\frac {1}{2}})(\frac {1}{2}\sqrt {8}+\sqrt {\frac {2}{3}})$
(6)$(1+\sqrt {2})^{2}×(1-\sqrt {2})^{2}×(1+\sqrt {3})^{2}×(1-\sqrt {3})^{2}$。

答案： 【解析】：
1. 对于$2(\sqrt {12}+\sqrt {20}) - 3(\sqrt {3}-\sqrt {5})$：
先化简根式，$\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{20}=\sqrt{4\times5}=2\sqrt{5}$。
则原式$=2(2\sqrt{3}+2\sqrt{5})-3(\sqrt{3}-\sqrt{5})$
去括号得$4\sqrt{3}+4\sqrt{5}-3\sqrt{3}+3\sqrt{5}$
合并同类二次根式得$(4\sqrt{3}-3\sqrt{3})+(4\sqrt{5}+3\sqrt{5})=\sqrt{3}+7\sqrt{5}$。
2. 对于$(\sqrt {5}-\sqrt {3}-\sqrt {2})(\sqrt {5}-\sqrt {3}+\sqrt {2})$：
把$(\sqrt {5}-\sqrt {3})$看作一个整体，利用平方差公式$(a - b)(a + b)=a^{2}-b^{2}$，这里$a = \sqrt{5}-\sqrt{3}$，$b=\sqrt{2}$。
则原式$=[(\sqrt{5}-\sqrt{3})-\sqrt{2}][(\sqrt{5}-\sqrt{3})+\sqrt{2}]=(\sqrt{5}-\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{2})^{2}$
根据完全平方公式$(m - n)^{2}=m^{2}-2mn + n^{2}$，其中$m=\sqrt{5}$，$n = \sqrt{3}$，可得$(\sqrt{5})^{2}-2\sqrt{5}\times\sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}-2$
即$5-2\sqrt{15}+3 - 2=6 - 2\sqrt{15}$。
3. 对于$(\sqrt {\frac {8}{27}}-5\sqrt {3})\times\sqrt {6}$：
利用乘法分配律$(a - b)c=ac - bc$，则原式$=\sqrt{\frac{8}{27}}\times\sqrt{6}-5\sqrt{3}\times\sqrt{6}$
根据$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$，$\sqrt{\frac{8}{27}}\times\sqrt{6}=\sqrt{\frac{8}{27}\times6}=\sqrt{\frac{16}{9}}=\frac{4}{3}$，$5\sqrt{3}\times\sqrt{6}=5\sqrt{18}=5\times3\sqrt{2}=15\sqrt{2}$
所以原式$=\frac{4}{3}-15\sqrt{2}$。
4. 对于$(\frac {1}{2}a\sqrt {4a}+6a\sqrt {\frac {8}{9a}}-2a^{2}\sqrt {\frac {1}{a}})\div\sqrt {a}$：
先化简各项根式，$\frac{1}{2}a\sqrt{4a}=\frac{1}{2}a\times2\sqrt{a}=a\sqrt{a}$，$6a\sqrt{\frac{8}{9a}}=6a\times\frac{2\sqrt{2a}}{3\sqrt{a}} = 4\sqrt{2a}$，$2a^{2}\sqrt{\frac{1}{a}}=2a^{2}\times\frac{\sqrt{a}}{a}=2a\sqrt{a}$。
则原式$=(a\sqrt{a}+4\sqrt{2a}-2a\sqrt{a})\div\sqrt{a}$
再根据$(m + n - p)\div q=\frac{m}{q}+\frac{n}{q}-\frac{p}{q}$，可得$\frac{a\sqrt{a}}{\sqrt{a}}+\frac{4\sqrt{2a}}{\sqrt{a}}-\frac{2a\sqrt{a}}{\sqrt{a}}$
即$a + 4\sqrt{2}-2a=4\sqrt{2}-a$。
5. 对于$(2\sqrt {\frac {3}{2}}-\sqrt {\frac {1}{2}})(\frac {1}{2}\sqrt {8}+\sqrt {\frac {2}{3}})$：
先化简根式，$2\sqrt{\frac{3}{2}}=\sqrt{6}$，$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{1}{2}\sqrt{8}=\sqrt{2}$，$\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$。
则原式$=(\sqrt{6}-\frac{\sqrt{2}}{2})(\sqrt{2}+\frac{\sqrt{6}}{3})$
利用多项式乘法法则展开得$\sqrt{6}\times\sqrt{2}+\sqrt{6}\times\frac{\sqrt{6}}{3}-\frac{\sqrt{2}}{2}\times\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{\sqrt{6}}{3}$
即$2\sqrt{3}+2 - 1-\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{5\sqrt{3}}{3}+1$。
6. 对于$(1+\sqrt {2})^{2}\times(1 - \sqrt {2})^{2}\times(1+\sqrt {3})^{2}\times(1 - \sqrt {3})^{2}$：
根据积的乘方公式$(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$，可得$[(1 + \sqrt{2})(1 - \sqrt{2})]^{2}\times[(1+\sqrt{3})(1 - \sqrt{3})]^{2}$
利用平方差公式$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$，$(1+\sqrt{2})(1 - \sqrt{2})=1^{2}-(\sqrt{2})^{2}=1 - 2=-1$，$(1+\sqrt{3})(1 - \sqrt{3})=1^{2}-(\sqrt{3})^{2}=1 - 3=-2$。
则原式$=(-1)^{2}\times(-2)^{2}=1\times4 = 4$。
【答案】：1.$\sqrt{3}+7\sqrt{5}$ 2.$6 - 2\sqrt{15}$ 3.$\frac{4}{3}-15\sqrt{2}$ 4.$4\sqrt{2}-a$ 5.$\frac{5\sqrt{3}}{3}+1$ 6.$4$