《2025年暑假乐园海南出版社七年级数学华师大版》

2. 如图9，点E为正方形ABCD的边AB上的一点，$AB=5$，$DE=6$，$△DAE$旋转后能与$△DCF$重合。请回答下列问题。
（1）旋转中心是哪一点？
（2）旋转了多少度？
（3）如果连接EF，那么$△DEF$是怎样的三角形？
（4）$△DEF$的面积是多少？

答案： 【解析】：
（1）因为$\triangle DAE$旋转后能与$\triangle DCF$重合，对应点$A$与$C$，$E$与$F$，$D$为公共点，所以旋转中心是点$D$。
（2）$AD$旋转后与$CD$重合，$\angle ADC = 90^{\circ}$，所以旋转了$90^{\circ}$。
（3）由旋转性质可知$DE = DF$，$\angle EDF=\angle ADC = 90^{\circ}$，所以$\triangle DEF$是等腰直角三角形。
（4）在$Rt\triangle DAE$中，$AD = AB = 5$，$DE = 6$，根据勾股定理$AE=\sqrt{DE^{2}-AD^{2}}=\sqrt{6^{2}-5^{2}}=\sqrt{11}$。
因为$\triangle DAE\cong\triangle DCF$，所以$S_{\triangle DAE}=S_{\triangle DCF}$。
$S_{\triangle DEF}=S_{正方形ABCD}-S_{\triangle DAE}-S_{\triangle DCF}+S_{\triangle DCF}=S_{正方形ABCD}-S_{\triangle DAE}$
$S_{正方形ABCD}=5\times5 = 25$，$S_{\triangle DAE}=\frac{1}{2}\times AD\times AE=\frac{1}{2}\times5\times\sqrt{11}=\frac{5\sqrt{11}}{2}$
$S_{\triangle DEF}=\frac{1}{2}\times DE\times DF$（因为$DE = DF = 6$）$=\frac{1}{2}\times6\times6 = 18$。
【答案】：
（1）点$D$
（2）$90^{\circ}$
（3）等腰直角三角形
（4）$18$