《2025年暑假乐园海南出版社七年级数学华师大版》

1. 有长度分别为$10\mathrm{cm}$、$7\mathrm{cm}$、$5\mathrm{cm}$、$3\mathrm{cm}$的四根木棒，选其中的三根组成三角形，则( ).
A. 有4种选法
B. 有3种选法
C. 有2种选法
D. 只有1种选法

答案： C

2. 如图13，$\angle ABC$的角平分线与$\triangle ABC$的外角$\angle ACE$的角平分线交于点$D$.
(1)若$\angle ABC=55^{\circ }$，$\angle ACB=65^{\circ }$，则$\angle D=$____；
(2)若$\angle A=70^{\circ }$，求$\angle D$的度数；
(3)试探究$\angle A$与$\angle D$之间的数量关系.

答案： 【解析】：
(1)
已知$\angle ABC = 55^{\circ}$，$\angle ACB = 65^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle A=180^{\circ}-\angle ABC - \angle ACB=180^{\circ}-55^{\circ}-65^{\circ}=60^{\circ}$。
因为$BD$平分$\angle ABC$，所以$\angle DBC=\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{1}{2}\times55^{\circ}=27.5^{\circ}$。
$\angle ACE = 180^{\circ}-\angle ACB=180^{\circ}-65^{\circ}=115^{\circ}$，因为$CD$平分$\angle ACE$，所以$\angle DCE=\frac{1}{2}\angle ACE=\frac{1}{2}\times115^{\circ}=57.5^{\circ}$。
根据三角形外角性质，$\angle DCE$是$\triangle BCD$的外角，则$\angle D=\angle DCE - \angle DBC=57.5^{\circ}-27.5^{\circ}=30^{\circ}$。
(2)
因为$BD$平分$\angle ABC$，所以$\angle DBC=\frac{1}{2}\angle ABC$；$CD$平分$\angle ACE$，所以$\angle DCE=\frac{1}{2}\angle ACE$。
根据三角形外角性质，$\angle ACE=\angle A+\angle ABC$，$\angle DCE=\angle D+\angle DBC$。
则$\frac{1}{2}\angle ACE=\angle D+\frac{1}{2}\angle ABC$，即$\frac{1}{2}(\angle A+\angle ABC)=\angle D+\frac{1}{2}\angle ABC$，化简可得$\angle D=\frac{1}{2}\angle A$。
已知$\angle A = 70^{\circ}$，所以$\angle D=\frac{1}{2}\times70^{\circ}=35^{\circ}$。
(3)
由
(2)的推理过程可知，因为$\angle ACE=\angle A+\angle ABC$，$\angle DCE=\angle D+\angle DBC$，且$\angle DBC=\frac{1}{2}\angle ABC$，$\angle DCE=\frac{1}{2}\angle ACE$。
所以$\frac{1}{2}(\angle A+\angle ABC)=\angle D+\frac{1}{2}\angle ABC$，故$\angle D=\frac{1}{2}\angle A$。
【答案】：
(1)$30^{\circ}$
(2)$35^{\circ}$
(3)$\angle D=\frac{1}{2}\angle A$