《2025年暑假乐园海南出版社七年级数学华师大版》

1. 为了举行班级晚会，小明准备去商店购买20个乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍作为奖品。已知乒乓球每个1.5元，球拍每个22元，如果要求购买金额不超过200元，且买的球拍尽可能多，那么小明应该买多少个球拍？

答案： 【解析】：设小明应该买$x$个球拍。已知乒乓球每个$1.5$元，买$20$个乒乓球花费$1.5\times20$元；球拍每个$22$元，买$x$个球拍花费$22x$元。因为购买金额不超过$200$元，所以可列不等式$1.5\times20 + 22x\leqslant200$，即$30+22x\leqslant200$，移项可得$22x\leqslant200 - 30$，也就是$22x\leqslant170$，解得$x\leqslant\frac{170}{22}\approx7.73$。由于$x$为球拍个数，应当为整数，所以$x$的最大值为$7$。
【答案】：$7$

2. 小明的数学研学作业单上有这样一道题：已知$ -x + y = 2 $，且$ x ＜ 3 $，$ y \geq 0 $，设$ w = x + y - 2 $，那么w的取值范围是什么？
【回顾】
小明回顾做过的一道简单的类似题目：已知：$ -1 ＜ x ＜ 2 $，设$ y = x + 1 $，那么y的取值范围是________。（请你直接写出答案）
【探究】
小明想：可以将研学作业单上的复杂问题转化为上面回顾的类似题目。
由$ -x + y = 2 $得$ y = 2 + x $，则$ w = x + y - 2 = x + 2 + x - 2 = 2x $，
由$ x ＜ 3 $，$ y \geq 0 $，得关于x的一元一次不等式组________，
解该不等式组得到x的取值范围为________，
则w的取值范围是________。
【应用】
（1）已知$ a - b = 4 $，且$ a ＞ 1 $，$ b ＜ 2 $，设$ t = a + b $，那么t的取值范围是________；
（2）已知$ a - b = n $（n是大于0的常数），且$ a ＞ 1 $，$ b \leq 1 $，$ 2a + b $的最大值为________（用含n的代数式表示）；
【拓展】
若$ 3x = 6y + 12 = 2z $，且$ x ＞ 0 $，$ y \geq -4 $，$ z \leq 9 $，设$ m = 2x - 2y - z $，且m为整数，那么m所有可能的值的和为________。

答案： 【解析】：
### 【回顾】
已知$-1\lt x\lt2$，对于$y = x + 1$，根据不等式的性质，在不等式$-1\lt x\lt2$两边同时加$1$，可得$-1 + 1\lt x + 1\lt2 + 1$，即$0\lt y\lt3$。
### 【探究】
由$-x + y = 2$得$y = 2 + x$，因为$x\lt3$，$y\geq0$，所以可得不等式组$\begin{cases}x\lt3\\2 + x\geq0\end{cases}$。
解不等式$2 + x\geq0$，移项可得$x\geq - 2$，结合$x\lt3$，所以$x$的取值范围是$-2\leq x\lt3$。
因为$w = 2x$，根据不等式的性质，不等式两边同时乘$2$，不等号方向不变，所以$-2\times2\leq2x\lt3\times2$，即$-4\leq w\lt6$。
### 【应用】
（1）已知$a - b = 4$，则$b = a - 4$，因为$a\gt1$，$b\lt2$，所以可得不等式组$\begin{cases}a\gt1\\a - 4\lt2\end{cases}$。
解不等式$a - 4\lt2$，移项可得$a\lt2 + 4$，即$a\lt6$，结合$a\gt1$，所以$1\lt a\lt6$。
$t = a + b = a + a - 4 = 2a - 4$，根据不等式的性质，不等式$1\lt a\lt6$两边同时乘$2$得$2\lt2a\lt12$，再两边同时减$4$得$2 - 4\lt2a - 4\lt12 - 4$，即$-2\lt t\lt8$。
（2）已知$a - b = n$，则$b = a - n$，因为$a\gt1$，$b\leq1$，所以可得不等式组$\begin{cases}a\gt1\\a - n\leq1\end{cases}$。
解不等式$a - n\leq1$，移项可得$a\leq1 + n$，结合$a\gt1$，所以$1\lt a\leq1 + n$。
$2a + b = 2a + a - n = 3a - n$，根据不等式的性质，不等式$1\lt a\leq1 + n$两边同时乘$3$得$3\lt3a\leq3(1 + n)=3 + 3n$，再两边同时减$n$得$3 - n\lt3a - n\leq3 + 3n - n = 3 + 2n$，所以$2a + b$的最大值为$3 + 2n$。
### 【拓展】
设$3x = 6y + 12 = 2z = k$，则$x=\frac{k}{3}$，$y=\frac{k - 12}{6}$，$z=\frac{k}{2}$。
因为$x\gt0$，$y\geq - 4$，$z\leq9$，所以可得不等式组$\begin{cases}\frac{k}{3}\gt0\\\frac{k - 12}{6}\geq - 4\\\frac{k}{2}\leq9\end{cases}$。
解不等式$\frac{k}{3}\gt0$，两边同时乘$3$得$k\gt0$；
解不等式$\frac{k - 12}{6}\geq - 4$，两边同时乘$6$得$k - 12\geq - 24$，移项可得$k\geq - 24 + 12$，即$k\geq - 12$；
解不等式$\frac{k}{2}\leq9$，两边同时乘$2$得$k\leq18$。
综合可得$0\lt k\leq18$。
$m = 2x - 2y - z = 2\times\frac{k}{3}-2\times\frac{k - 12}{6}-\frac{k}{2}$
$=\frac{2k}{3}-\frac{k - 12}{3}-\frac{k}{2}=\frac{2k-(k - 12)}{3}-\frac{k}{2}=\frac{2k - k + 12}{3}-\frac{k}{2}=\frac{k + 12}{3}-\frac{k}{2}$
$=\frac{2(k + 12)-3k}{6}=\frac{2k + 24 - 3k}{6}=\frac{24 - k}{6}=4-\frac{k}{6}$。
因为$0\lt k\leq18$，根据不等式的性质，不等式两边同时除以$-6$，不等号方向改变，得$0\div(-6)\gt\frac{k}{-6}\geq18\div(-6)$，即$0\gt-\frac{k}{6}\geq - 3$，再两边同时加$4$得$4\gt4-\frac{k}{6}\geq4 - 3$，即$1\leq m\lt4$。
因为$m$为整数，所以$m$的值为$1$，$2$，$3$，它们的和为$1 + 2 + 3 = 6$。
【答案】：$0\lt y\lt3$；$\begin{cases}x\lt3\\2 + x\geq0\end{cases}$；$-2\leq x\lt3$；$-4\leq w\lt6$；$-2\lt t\lt8$；$3 + 2n$；$6$