《2025年暑假乐园海南出版社七年级数学华师大版》

4. 如图11，在$\triangle ABC$中，$\angle A=40^{\circ }$，$\angle B=72^{\circ }$，$CE$平分$\angle ACB$，$CD\perp AB$于点$D$，$DF\perp CE$交$CE$于点$F$，求$\angle CDF$的度数.

答案： 【解析】：
1. 首先求$\angle ACB$的度数：
在$\triangle ABC$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，已知$\angle A = 40^{\circ}$，$\angle B = 72^{\circ}$，则$\angle ACB=180^{\circ}-\angle A - \angle B$。
即$\angle ACB = 180^{\circ}-40^{\circ}-72^{\circ}=68^{\circ}$。
2. 然后求$\angle ACE$和$\angle ECB$的度数：
因为$CE$平分$\angle ACB$，所以$\angle ACE=\angle ECB=\frac{1}{2}\angle ACB$。
则$\angle ACE=\angle ECB=\frac{1}{2}\times68^{\circ}=34^{\circ}$。
3. 接着求$\angle CED$的度数：
在$\triangle CEB$中，$\angle CED$是外角，根据三角形外角性质$\angle CED=\angle A+\angle ACE$（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）。
已知$\angle A = 40^{\circ}$，$\angle ACE = 34^{\circ}$，所以$\angle CED=40^{\circ}+34^{\circ}=74^{\circ}$。
4. 最后求$\angle CDF$的度数：
因为$CD\perp AB$，$DF\perp CE$，所以$\angle CDE = 90^{\circ}$，$\angle DFC = 90^{\circ}$。
在$\triangle CDE$中，$\angle DCE$与$\angle CED$互余，在$\triangle CDF$中，$\angle CDF$与$\angle DCF$互余。
又因为$\angle DCF$与$\angle DCE$是同一个角，根据同角的余角相等，$\angle CDF=\angle CED$。
【答案】：$74^{\circ}$

5. 如图12，在$\triangle ABC$中，$\angle ABC=45^{\circ }$，点$D$是边$AC$上的一点，$\angle DBC=\angle BAC$.
(1)求$\angle BDC$的度数；
(2)若在$\triangle ABC$外取一点$E$，使$\angle EBA=\angle DBC$，$\angle BEA=135^{\circ }$，试说明$AE// BD$.

答案： （1）求∠BDC 的度数：

设∠BAC = ∠DBC = x，
∵∠ABC = 45°，
∴∠ABD = ∠ABC − ∠DBC = 45° − x。

在△ABD 中，∠BDC 是外角，由外角定理得：∠BDC = ∠BAC + ∠ABD = x + (45° − x) = 45°。

（2）说明 AE∥BD：

∵∠EBA = ∠DBC = x，
∴∠EBA + ∠ABD = ∠DBC + ∠ABD = ∠ABC = 45°（即∠EBD = 45°）。

在△BEA 中，∠BAE = 180° − ∠BEA − ∠EBA = 180° − 135° − x = 45° − x。

又
∵∠ABD = 45° − x（第 1 问推导），故∠BAE = ∠ABD。

根据 “内错角相等，两直线平行”，得 AE∥BD。