《2025年暑假乐园海南出版社七年级数学华师大版》

4. 如图7,在$\triangle ABC$中,BO、CO分别是$∠ABC$和$∠ACB$的角平分线.
(1)若$∠ABC=50^{\circ },∠ACB=60^{\circ }$,求$∠BOC$的度数;
(2)如将题(1)中“$∠ABC=50^{\circ },∠ACB=60^{\circ }$”改为“$∠A=70^{\circ }$”,求$∠BOC$的度数;
(3)若$∠A=n^{\circ }$,求$∠BOC$的度数.

答案： 【解析】：
(1) 因为$BO$、$CO$分别是$\angle ABC$和$\angle ACB$的角平分线，$\angle ABC = 50^{\circ}$，$\angle ACB = 60^{\circ}$，所以$\angle OBC=\frac{1}{2}\angle ABC = 25^{\circ}$，$\angle OCB=\frac{1}{2}\angle ACB = 30^{\circ}$。
在$\triangle BOC$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle BOC = 180^{\circ}-\angle OBC - \angle OCB = 180^{\circ}-25^{\circ}-30^{\circ}=125^{\circ}$。
(2) 因为$\angle A = 70^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，所以$\angle ABC+\angle ACB = 180^{\circ}-\angle A=110^{\circ}$。
又因为$BO$、$CO$分别是$\angle ABC$和$\angle ACB$的角平分线，所以$\angle OBC+\angle OCB=\frac{1}{2}(\angle ABC + \angle ACB)=\frac{1}{2}\times110^{\circ}=55^{\circ}$。
在$\triangle BOC$中，$\angle BOC = 180^{\circ}-(\angle OBC + \angle OCB)=180^{\circ}-55^{\circ}=125^{\circ}$。
(3) 因为$\angle A=n^{\circ}$，所以$\angle ABC+\angle ACB = 180^{\circ}-\angle A=(180 - n)^{\circ}$。
由于$BO$、$CO$分别是$\angle ABC$和$\angle ACB$的角平分线，那么$\angle OBC+\angle OCB=\frac{1}{2}(\angle ABC + \angle ACB)=\frac{1}{2}(180 - n)^{\circ}=(90-\frac{n}{2})^{\circ}$。
在$\triangle BOC$中，$\angle BOC = 180^{\circ}-(\angle OBC + \angle OCB)=180^{\circ}-(90-\frac{n}{2})^{\circ}=(90+\frac{n}{2})^{\circ}$。
【答案】：
(1)$125^{\circ}$
(2)$125^{\circ}$
(3)$(90+\frac{n}{2})^{\circ}$

1. 将两张三角形纸片按如图8所示摆放,量得$∠1+∠2+∠3+∠4=220^{\circ }$,求$∠5$的度数.

答案： 【解析】：本题可先根据三角形内角和定理求出$\angle1 + \angle2 + \angle3 + \angle4 + 2\angle5$的度数，再结合已知条件$\angle1 + \angle2 + \angle3 + \angle4 = 220^{\circ}$求出$\angle5$的度数。
- **步骤一：根据三角形内角和定理求出$\angle1 + \angle2 + \angle3 + \angle4 + 2\angle5$的度数**
根据三角形内角和定理：三角形的内角和为$180^{\circ}$。
观察图形可知，$\angle1$、$\angle2$与和$\angle5$相邻的一个角组成一个三角形，$\angle3$、$\angle4$与和$\angle5$相邻的另一个角也组成一个三角形。
因为与$\angle5$相邻的两个角组成平角，平角为$180^{\circ}$，所以$\angle1 + \angle2 + \angle3 + \angle4 + 2\angle5 = 180^{\circ} + 180^{\circ} = 360^{\circ}$。
- **步骤二：求出$\angle5$的度数**
已知$\angle1 + \angle2 + \angle3 + \angle4 = 220^{\circ}$，将其代入$\angle1 + \angle2 + \angle3 + \angle4 + 2\angle5 = 360^{\circ}$可得：
$220^{\circ} + 2\angle5 = 360^{\circ}$
移项可得$2\angle5 = 360^{\circ} - 220^{\circ} = 140^{\circ}$
两边同时除以$2$，解得$\angle5 = 140^{\circ} \div 2 = 40^{\circ}$。
【答案】：$40^{\circ}$