《2025年暑假乐园海南出版社七年级数学华师大版》

2. 已知$\triangle ABC$。
(1)如图5①，$∠BAC$和$∠ACB$的角平分线交于点I，$∠BAC = 50^{\circ}$，$∠ACB = 70^{\circ}$，求$∠AIC$的度数；
(2)如图5②，$\triangle ABC$的外角$∠CAE$的角平分线的反向延长线与$∠ACB$的角平分线交于点O，$∠O$和$∠B$有什么数量关系？说明你的理由。

答案： 【解析】：
### $(1)$求$\angle AIC$的度数
已知$AI$平分$\angle BAC$，$CI$平分$\angle ACB$，$\angle BAC = 50^{\circ}$，$\angle ACB = 70^{\circ}$。
根据角平分线的定义，可得$\angle IAC=\frac{1}{2}\angle BAC=\frac{1}{2}\times50^{\circ}=25^{\circ}$，$\angle ICA=\frac{1}{2}\angle ACB=\frac{1}{2}\times70^{\circ}=35^{\circ}$。
在$\triangle AIC$中，根据三角形内角和定理$\angle AIC + \angle IAC + \angle ICA=180^{\circ}$，则$\angle AIC = 180^{\circ}-\angle IAC - \angle ICA$。
把$\angle IAC = 25^{\circ}$，$\angle ICA = 35^{\circ}$代入可得：$\angle AIC=180^{\circ}-25^{\circ}-35^{\circ}=120^{\circ}$。
### $(2)$探究$\angle O$和$\angle B$的数量关系
设$\angle OAC = x$，$\angle OCA = y$。
**步骤一：根据角平分线的性质表示相关角**
因为$CO$平分$\angle ACB$，所以$\angle BCO=\angle OCA = y$，则$\angle ACB = 2y$。
因为$AD$平分$\angle CAE$，$OA$是$AD$的反向延长线，所以$\angle EAD=\angle CAD$，又因为$\angle CAD = 180^{\circ}-x$，所以$\angle EAD = 180^{\circ}-x$，那么$\angle CAE = 2(180^{\circ}-x)$。
**步骤二：利用三角形外角性质建立等式**
根据三角形外角性质，$\angle CAE$是$\triangle ABC$的外角，则$\angle CAE=\angle B+\angle ACB$，即$2(180^{\circ}-x)=\angle B + 2y$ ①；
在$\triangle AOC$中，$\angle OAC$是外角，则$180^{\circ}-x=\angle O + y$，变形可得$2(180^{\circ}-x)=2\angle O + 2y$ ②。
**步骤三：得出$\angle O$与$\angle B$的关系**
由①②可得：$\angle B + 2y=2\angle O + 2y$，等式两边同时减去$2y$，得到$\angle B = 2\angle O$。
【答案】：
$(1)$$\boldsymbol{120^{\circ}}$；$(2)$$\boldsymbol{\angle B = 2\angle O}$