《2025年暑假乐园海南出版社七年级数学华师大版》

四、解下列不等式(组)，并把它们的解集在数轴上表示出来。
1. $ 3 - \frac{x - 1}{2} \leq \frac{3(x + 1)}{4} + 2 $；
2. $ \begin{cases} 3 - x ＞ 0, \\ 3x ＞ -(x + 2). \end{cases} $

答案： 【解析】：
1. 解不等式$3 - \frac{x - 1}{2} \leq \frac{3(x + 1)}{4} + 2$：
去分母，两边同时乘以$4$得：$4\times3-4\times\frac{x - 1}{2}\leq4\times\frac{3(x + 1)}{4}+4\times2$，即$12 - 2(x - 1)\leq3(x + 1)+8$。
去括号得：$12-2x + 2\leq3x+3 + 8$。
移项得：$-2x-3x\leq3 + 8-12 - 2$。
合并同类项得：$-5x\leq -3$。
系数化为$1$，两边同时除以$-5$，不等号方向改变，得$x\geq\frac{3}{5}$。
在数轴上表示时，在数轴上找到$\frac{3}{5}$这个点，画一个实心圆点，然后向右画一条线表示$x$的取值范围。
2. 解不等式组$\begin{cases}3 - x\gt0 \\3x\gt-(x + 2) \end{cases}$：
解不等式$3 - x\gt0$，移项得$-x\gt - 3$，系数化为$1$，两边同时除以$-1$，不等号方向改变，得$x\lt3$。
解不等式$3x\gt-(x + 2)$，去括号得$3x\gt -x-2$，移项得$3x+x\gt - 2$，合并同类项得$4x\gt - 2$，系数化为$1$，两边同时除以$4$得$x\gt-\frac{1}{2}$。
所以不等式组的解集为$-\frac{1}{2}\lt x\lt3$。在数轴上表示时，在数轴上找到$-\frac{1}{2}$和$3$这两个点，$-\frac{1}{2}$处画空心圆点向右画，$3$处画空心圆点向左画，两线重合部分即为解集。
【答案】：
1. $x\geq\frac{3}{5}$；
2. $-\frac{1}{2}\lt x\lt3$。

五、某学校计划为书法小组购买某种品牌的A、B两种型号的毛笔。已知购买3支A种型号的毛笔和1支B种型号的毛笔需用22元；购买2支A种型号的毛笔和3支B种型号的毛笔需用24元。
(1)求每支A种型号的毛笔和每支B种型号的毛笔各多少元；
(2)学校决定购买以上两种型号的毛笔共80支，总费用不能超过420元，那么最多可以购买多少支A种型号的毛笔？

答案： 【解析】：
(1)设每支$A$种型号的毛笔$x$元，每支$B$种型号的毛笔$y$元。
根据“购买$3$支$A$种型号的毛笔和$1$支$B$种型号的毛笔需用$22$元”可列方程$3x + y = 22$；
根据“购买$2$支$A$种型号的毛笔和$3$支$B$种型号的毛笔需用$24$元”可列方程$2x + 3y = 24$。
将$3x + y = 22$等式两边同时乘以$3$，得到$9x+3y = 66$。
用$9x + 3y = 66$减去$2x + 3y = 24$可得：
$\begin{aligned}9x+3y-(2x + 3y)&=66 - 24\\9x+3y - 2x-3y&=42\\7x&=42\\x&=6\end{aligned}$
把$x = 6$代入$3x + y = 22$，得$3\times6 + y = 22$，即$18 + y = 22$，解得$y = 4$。
所以每支$A$种型号的毛笔$6$元，每支$B$种型号的毛笔$4$元。
(2)设可以购买$m$支$A$种型号的毛笔，则购买$(80 - m)$支$B$种型号的毛笔。
已知$A$种型号毛笔每支$6$元，$B$种型号毛笔每支$4$元，且总费用不能超过$420$元，可列不等式$6m+4(80 - m)\leq420$。
去括号得$6m + 320-4m\leq420$。
移项得$6m-4m\leq420 - 320$。
合并同类项得$2m\leq100$。
两边同时除以$2$得$m\leq50$。
所以最多可以购买$50$支$A$种型号的毛笔。
【答案】：
(1)每支$A$种型号的毛笔$6$元，每支$B$种型号的毛笔$4$元；
(2)$50$支