《2025年暑假乐园海南出版社七年级数学华师大版》

2. 如图5,AD是$\triangle ABC$的边BC上的中线,已知$AB=5cm,AC=3cm$.
(1)求$\triangle ABD$与$\triangle ACD$的周长差;
(2)若AB边上的高为2 cm,求AC边上的高.

答案： 【解析】：
(1) 因为$AD$是$\triangle ABC$的边$BC$上的中线，所以$BD = CD$。
$\triangle ABD$的周长为$AB + BD + AD$，$\triangle ACD$的周长为$AC + CD + AD$。
那么$\triangle ABD$与$\triangle ACD$的周长差为：$(AB + BD + AD)-(AC + CD + AD)=AB - AC$。
已知$AB = 5cm$，$AC = 3cm$，所以周长差为$5 - 3 = 2cm$。
(2) 设$AC$边上的高为$h$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高）。
$\triangle ABC$以$AB$为底，高为$2cm$，则$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times AB\times2=\frac{1}{2}\times5\times2 = 5cm^{2}$。
$\triangle ABC$以$AC$为底，高为$h$，则$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times AC\times h=\frac{1}{2}\times3\times h$。
因为$S_{\triangle ABC}$不变，所以$\frac{1}{2}\times3\times h = 5$，解得$h=\frac{10}{3}cm$。
【答案】：
(1) $2cm$；
(2) $\frac{10}{3}cm$。

3. 将一副三角板拼成如图6所示的图形,过点C作CF平分$∠DCE$,交DE于点F.
(1)试说明$CF// AB$;
(2)求$∠DFC$的度数.

答案： 【解析】：
(1) 因为$\angle DCE = 90^{\circ}$，$CF$平分$\angle DCE$，所以$\angle DCF=\angle FCE=\frac{1}{2}\angle DCE = 45^{\circ}$。
又因为$\triangle ABC$是等腰直角三角形，所以$\angle BAC = 45^{\circ}$，则$\angle BAC=\angle DCF$，根据内错角相等，两直线平行，可得$CF// AB$。
(2) 在$\triangle DCF$中，$\angle D = 30^{\circ}$，$\angle DCF = 45^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle DFC=180^{\circ}-\angle D - \angle DCF=180^{\circ}-30^{\circ}-45^{\circ}=105^{\circ}$。
【答案】：
(1) $CF// AB$得证；
(2) $\boldsymbol{105^{\circ}}$