《2025年暑假乐园海南出版社七年级数学人教版》

试一试，你一定很棒(十四)
今年，某市政府投入1000万元资金对城区4万户家庭的老式水龙头和13L抽水马桶进行免费改造.某社区为配合政府完成该项工作，对社区内1200户家庭中的120户进行了随机抽样调查，并汇总成下表：

(1)试估计该社区需要对水龙头、马桶进行改造的家庭共有多少户.
(2)改造后，一个水龙头一年大约可节省5吨水，一个马桶一年大约可节省15吨水.试估计该社区一年共可节约多少吨水.
(3)在抽样的120户家庭中，既要改造水龙头又要改造马桶的家庭共有多少户？

答案： 【解析】：
(1) 首先计算抽样调查中需要对水龙头、马桶进行改造的家庭所占的比例，然后用该比例乘以社区的总户数，即可估计出该社区需要对水龙头、马桶进行改造的家庭户数。
在抽样的$120$户中，均不改造的有$20$户，则需要改造的有$120 - 20=100$户。
所以需要改造的家庭所占比例为$\frac{100}{120}=\frac{5}{6}$。
已知社区共有$1200$户家庭，则该社区需要对水龙头、马桶进行改造的家庭共有$1200\times\frac{5}{6}=1000$户。
(2) 分别计算抽样调查中改造水龙头和改造马桶一年节省的水量，进而求出抽样的$120$户家庭一年共节约的水量，再根据比例关系求出该社区一年共可节约的水量。
抽样的$120$户家庭中，改造水龙头的情况：
改造$1$个水龙头的有$31$户，改造$2$个水龙头的有$28$户，改造$3$个水龙头的有$21$户，改造$4$个水龙头的有$12$户，则改造水龙头的总数为：
$31\times1 + 28\times2+21\times3 + 12\times4$
$=31+56 + 63+48$
$=198$（个）
改造马桶的情况：改造$1$个马桶的有$69$户，改造$2$个马桶的有$2$户，则改造马桶的总数为：
$69\times1+2\times2=69 + 4 = 73$（个）
已知一个水龙头一年大约可节省$5$吨水，一个马桶一年大约可节省$15$吨水，则抽样的$120$户家庭一年共节约的水量为：
$198\times5+73\times15$
$=990+1095$
$=2085$（吨）
该社区共有$1200$户家庭，是抽样$120$户的$1200\div120 = 10$倍，所以该社区一年共可节约的水量为$2085\times10 = 20850$吨。
(3) 设既要改造水龙头又要改造马桶的家庭有$x$户。
改造水龙头的家庭有$31 + 28+21 + 12=92$户，改造马桶的家庭有$69 + 2=71$户，而需要改造的家庭有$100$户。
根据容斥原理：改造水龙头的户数$+$改造马桶的户数$-$既改造水龙头又改造马桶的户数$=$需要改造的户数，即$92+71 - x=100$，
$163 - x=100$，
解得$x = 63$户。
【答案】：
(1)$1000$户；
(2)$20850$吨；
(3)$63$户