《2025年暑假乐园海南出版社七年级数学人教版》

2. 某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车。上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元。
（1）每辆A型车和B型车的售价各是多少万元？
（2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，购车费不少于130万元，且不超过140万元。有哪几种购车方案？

答案： 【解析】：
（1）设每辆$A$型车的售价为$x$万元，每辆$B$型车的售价为$y$万元。
根据上周售出$1$辆$A$型车和$3$辆$B$型车，销售额为$96$万元，可列方程$x + 3y = 96$；
根据本周售出$2$辆$A$型车和$1$辆$B$型车，销售额为$62$万元，可列方程$2x + y = 62$。
则可得到方程组$\begin{cases}x + 3y = 96 \\2x + y = 62 \end{cases}$
由$2x + y = 62$可得$y = 62 - 2x$，将其代入$x + 3y = 96$中，得到：
$x+3(62 - 2x)=96$
$x + 186-6x = 96$
$x-6x=96 - 186$
$-5x=-90$
$x = 18$
把$x = 18$代入$y = 62 - 2x$，得$y=62-2×18=62 - 36 = 26$。
所以每辆$A$型车的售价为$18$万元，每辆$B$型车的售价为$26$万元。
（2）设购买$A$型车$m$辆，则购买$B$型车$(6 - m)$辆。
因为购车费不少于$130$万元，且不超过$140$万元，所以可列不等式组：
$\begin{cases}18m + 26(6 - m)\geqslant130 \\18m + 26(6 - m)\leqslant140 \end{cases}$
解不等式$18m + 26(6 - m)\geqslant130$：
$18m+156 - 26m\geqslant130$
$18m-26m\geqslant130 - 156$
$-8m\geqslant - 26$
$m\leqslant\frac{13}{4}=3.25$
解不等式$18m + 26(6 - m)\leqslant140$：
$18m + 156-26m\leqslant140$
$18m-26m\leqslant140 - 156$
$-8m\leqslant - 16$
$m\geqslant2$
所以$m$的取值范围是$2\leqslant m\leqslant3.25$。
因为$m$为正整数，所以$m = 2$或$m = 3$。
当$m = 2$时，$6 - m = 6 - 2 = 4$；
当$m = 3$时，$6 - m = 6 - 3 = 3$。
故有两种购车方案：
方案一：购买$2$辆$A$型车和$4$辆$B$型车；
方案二：购买$3$辆$A$型车和$3$辆$B$型车。
【答案】：（1）每辆$A$型车的售价为$18$万元，每辆$B$型车的售价为$26$万元；（2）有两种购车方案，方案一：购买$2$辆$A$型车和$4$辆$B$型车；方案二：购买$3$辆$A$型车和$3$辆$B$型车。

1. 小杰到学校食堂买饭，看到A，B两窗口前面排队的人一样多（设为a人，$ a ＞ 8 $），就站在A窗口队伍的后面排队，如图2所示。过了2分钟，他发现A窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B窗口队伍后面每分钟增加5人。
（1）此时，若小杰继续在A窗口排队，则他到达A窗口所花的时间是多少？（用含a的代数式表示）
（2）此时，若小杰迅速从A窗口的队伍转移到B窗口的队伍后面重新排队，且到达B窗口所花的时间比继续在A窗口排队到达A窗口所花的时间少，求a的取值范围。（不考虑其他因素）

答案： 【解析】：
（1）已知开始时A窗口前有$a$人排队，过了$2$分钟，A窗口每分钟有$4$人买饭离开队伍，那么$2$分钟后A窗口排队的人数为$a - 4\times2=a - 8$人。
因为A窗口每分钟有$4$人买饭离开队伍，根据时间$=$剩余人数$\div$每分钟离开的人数，所以小杰继续在A窗口排队到达A窗口所花的时间$t_{A}=\frac{a - 8}{4}$分钟。
（2）开始时B窗口前有$a$人排队，过了$2$分钟，B窗口每分钟有$6$人买饭离开队伍，且B窗口队伍后面每分钟增加$5$人。
那么$2$分钟后B窗口排队的人数为$a-6\times2 + 5\times2=a - 12 + 10=a - 2$人。
因为B窗口每分钟有$6$人买饭离开队伍，所以小杰转移到B窗口排队到达B窗口所花的时间$t_{B}=\frac{a - 2}{6}$分钟。
已知到达B窗口所花的时间比继续在A窗口排队到达A窗口所花的时间少，即$t_{B}\lt t_{A}$，可列不等式：
$\frac{a - 2}{6}\lt\frac{a - 8}{4}$
不等式两边同时乘以$12$去分母得：$2(a - 2)\lt3(a - 8)$
去括号得：$2a-4\lt3a - 24$
移项得：$2a-3a\lt - 24 + 4$
合并同类项得：$-a\lt - 20$
不等式两边同时除以$-1$，不等号方向改变，得$a\gt20$。
【答案】：（1）$\frac{a - 8}{4}$分钟；（2）$a\gt20$