《2025年暑假乐园海南出版社七年级数学人教版》

试一试，你一定很棒（二）
综合与实践。
（1）问题初探
数学活动课上，王老师给出如下问题：如图10-1，$AB// CD$，点E在AB，CD之间，且点E在点A右侧，求证：$∠AEC=∠BAE+∠DCE$（提示：过点E作$EF// AB$）；
（2）类比探究
小明对王老师给出的问题进行改编：如图10-2，$AB// CD$，点E在AB，CD之间，且点E在点A左侧，猜想$∠AEC$，$∠BAE$，$∠DCE$之间的数量关系，并加以证明；
（3）学以致用
如图10-3是超市的购物车，图10-4是其侧面示意图，已知$AB// CD$，$FD⊥CD$，测量得知$∠ABE=75^{\circ }$，$∠DFE=115^{\circ }$，直接写出$∠BEF$的度数。

答案： 【解析】：
（1）
过点$E$作$EF// AB$，
因为$AB// CD$，$EF// AB$，根据平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，所以$EF// CD$。
因为$EF// AB$，根据两直线平行，内错角相等，所以$\angle BAE = \angle AEF$。
又因为$EF// CD$，所以$\angle DCE=\angle CEF$。
而$\angle AEC=\angle AEF + \angle CEF$，所以$\angle AEC=\angle BAE+\angle DCE$。
（2）
猜想：$\angle AEC+\angle BAE+\angle DCE = 360^{\circ}$。
证明：过点$E$作$EF// AB$，
因为$AB// CD$，$EF// AB$，所以$EF// CD$。
因为$EF// AB$，根据两直线平行，同旁内角互补，所以$\angle BAE+\angle AEF = 180^{\circ}$。
又因为$EF// CD$，所以$\angle DCE+\angle CEF = 180^{\circ}$。
所以$\angle BAE+\angle AEF+\angle DCE+\angle CEF=180^{\circ}+180^{\circ}=360^{\circ}$，
而$\angle AEC=\angle AEF + \angle CEF$，所以$\angle AEC+\angle BAE+\angle DCE = 360^{\circ}$。
（3）
过点$E$作$EM// AB$，
因为$AB// CD$，所以$EM// CD$。
因为$FD\perp CD$，所以$\angle FDC = 90^{\circ}$。
因为$EM// CD$，所以$\angle MEF+\angle DFE = 180^{\circ}$（两直线平行，同旁内角互补），已知$\angle DFE = 115^{\circ}$，则$\angle MEF=180^{\circ}-\angle DFE=180 - 115=65^{\circ}$。
因为$EM// AB$，所以$\angle BEM=\angle ABE = 75^{\circ}$（两直线平行，内错角相等）。
所以$\angle BEF=\angle BEM+\angle MEF=75^{\circ}+65^{\circ}=140^{\circ}$。
【答案】：（1）证明过程见解析；（2）$\angle AEC+\angle BAE+\angle DCE = 360^{\circ}$，证明过程见解析；（3）$140^{\circ}$