《2025年暑假乐园海南出版社七年级数学人教版》

(1)动手探索在平面直角坐标系内,已知点$A(-6,3),B(-4,-5),C(8,0),D(2,7)$,连接$AB,BC,CD,DA,BD$,并依次取$AB,BC,CD,DA,BD$的中点$E,F,G,H,I$,分别写出$E,F,G,H$的坐标.
(2)观察归纳
观察以上各线段两端点的横、纵坐标与该线段中点的横、纵坐标之间的对应关系,猜想:若线段$PQ$两端点坐标分别为$P(x_{1},y_{1}),Q(x_{2},y_{2})$,线段$PQ$的中点是$R$,则点$R$的坐标为(______,______),并用$G,I$的坐标验证猜想是否正确,结果为______(填“是”或“否”).
(3)实践运用
利用上面探索得到的规律解决问题:
①若点$M_{1}(-9,5)$,点$M_{2}(11,17)$,则线段$M_{1}M_{2}$的中点$M$的坐标为__________;
②已知点$N$是线段$N_{1}N_{2}$的中点,且点$N_{1},N$的坐标分别为$(-12,-15),(1,2)$,求点$N_{2}$的坐标.

答案： 【解析】：
(1)根据中点坐标公式：若有两点$M(x_1,y_1)$，$N(x_2,y_2)$，则它们的中点坐标为$(\frac{x_1 + x_2}{2},\frac{y_1 + y_2}{2})$。
已知$A(-6,3)$，$B(-4,-5)$，则$AB$中点$E$的横坐标为$\frac{-6 + (-4)}{2}=\frac{-10}{2}=-5$，纵坐标为$\frac{3+(-5)}{2}=\frac{-2}{2}=-1$，所以$E(-5,-1)$。
已知$B(-4,-5)$，$C(8,0)$，则$BC$中点$F$的横坐标为$\frac{-4 + 8}{2}=\frac{4}{2}=2$，纵坐标为$\frac{-5 + 0}{2}=-\frac{5}{2}$，所以$F(2,-\frac{5}{2})$。
已知$C(8,0)$，$D(2,7)$，则$CD$中点$G$的横坐标为$\frac{8 + 2}{2}=\frac{10}{2}=5$，纵坐标为$\frac{0 + 7}{2}=\frac{7}{2}$，所以$G(5,\frac{7}{2})$。
已知$D(2,7)$，$A(-6,3)$，则$DA$中点$H$的横坐标为$\frac{2+(-6)}{2}=\frac{-4}{2}=-2$，纵坐标为$\frac{7 + 3}{2}=\frac{10}{2}=5$，所以$H(-2,5)$。
已知$B(-4,-5)$，$D(2,7)$，则$BD$中点$I$的横坐标为$\frac{-4 + 2}{2}=\frac{-2}{2}=-1$，纵坐标为$\frac{-5 + 7}{2}=\frac{2}{2}=1$，所以$I(-1,1)$。
(2)由上述计算可猜想：若线段$PQ$两端点坐标分别为$P(x_{1},y_{1})$，$Q(x_{2},y_{2})$，线段$PQ$的中点是$R$，则点$R$的坐标为$(\frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2})$。
对于$C(8,0)$，$D(2,7)$，按照猜想$CD$中点$G$的横坐标为$\frac{8 + 2}{2}=5$，纵坐标为$\frac{0 + 7}{2}=\frac{7}{2}$，与前面计算的$G$点坐标一致；对于$B(-4,-5)$，$D(2,7)$，按照猜想$BD$中点$I$的横坐标为$\frac{-4 + 2}{2}=-1$，纵坐标为$\frac{-5 + 7}{2}=1$，与前面计算的$I$点坐标一致，所以结果为是。
(3)①已知点$M_{1}(-9,5)$，点$M_{2}(11,17)$，则线段$M_{1}M_{2}$的中点$M$的横坐标为$\frac{-9 + 11}{2}=\frac{2}{2}=1$，纵坐标为$\frac{5 + 17}{2}=\frac{22}{2}=11$，所以$M$的坐标为$(1,11)$。
②设点$N_{2}$的坐标为$(x,y)$，因为点$N$是线段$N_{1}N_{2}$的中点，$N_{1}(-12,-15)$，$N(1,2)$，根据中点坐标公式可得$\frac{-12 + x}{2}=1$，解方程$-12+x = 2$，得$x=14$；$\frac{-15 + y}{2}=2$，解方程$-15 + y=4$，得$y = 19$，所以点$N_{2}$的坐标为$(14,19)$。
【答案】：
(1)$E(-5,-1)$，$F(2,-\frac{5}{2})$，$G(5,\frac{7}{2})$，$H(-2,5)$；
(2)$\frac{x_{1}+x_{2}}{2}$，$\frac{y_{1}+y_{2}}{2}$，是；
(3)①$(1,11)$；②$(14,19)$