《2025年暑假乐园海南出版社七年级数学人教版》

试一试，你一定很棒（十二）
数学探究小组在学习了不等式知识后开展了对绝对值不等式的解集的探究，首先对|x|＜2和|x|＞2进行探究。
根据绝对值的意义，将不等式|x|＜2的解集表示在数轴上（如图2），可得|x|＜2的解集是-2＜x＜2；将不等式|x|＞2的解集表示在数轴上（如图3），可得|x|＞2的解集是x＜-2或x＞2。

根据以上探究，解答下列问题：
（1）填空：不等式|x|＜a(a＞0)的解集为________，不等式|x|＞a(a＞0)的解集为________；
（2）解不等式|x-1|＞4；
（3）求不等式|x-1|+|x+2|＜5的解集。

答案： 【解析】：
1. 对于（1）：
根据绝对值的几何意义，$\vert x\vert$表示数轴上数$x$所对应的点与原点的距离。
当$\vert x\vert\lt a(a\gt0)$时，意味着数$x$所对应的点到原点的距离小于$a$，所以$-a\lt x\lt a$。
当$\vert x\vert\gt a(a\gt0)$时，意味着数$x$所对应的点到原点的距离大于$a$，所以$x\lt - a$或$x\gt a$。
2. 对于（2）：
令$t = x - 1$，则不等式$\vert x - 1\vert\gt4$可转化为$\vert t\vert\gt4$。
根据（1）中$\vert x\vert\gt a(a\gt0)$的解集为$x\lt - a$或$x\gt a$，这里$a = 4$，所以$t\lt - 4$或$t\gt4$。
因为$t=x - 1$，则$x - 1\lt - 4$或$x - 1\gt4$。
解$x - 1\lt - 4$，移项可得$x\lt - 4 + 1$，即$x\lt - 3$；解$x - 1\gt4$，移项可得$x\gt4 + 1$，即$x\gt5$。
3. 对于（3）：
令$x - 1 = 0$，解得$x = 1$；令$x+2 = 0$，解得$x=-2$。
这两个点$x=-2$和$x = 1$将数轴分为三个区间：$x\lt - 2$，$-2\leqslant x\leqslant1$，$x\gt1$。
①当$x\lt - 2$时：
此时$x - 1\lt0$，$x + 2\lt0$，则$\vert x - 1\vert=-(x - 1)=1 - x$，$\vert x + 2\vert=-(x + 2)=-x - 2$。
原不等式$\vert x - 1\vert+\vert x + 2\vert\lt5$可化为$1 - x - x - 2\lt5$。
整理得$-2x-1\lt5$，移项得$-2x\lt5 + 1$，即$-2x\lt6$，两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得$x\gt - 3$。
结合$x\lt - 2$，所以$-3\lt x\lt - 2$。
②当$-2\leqslant x\leqslant1$时：
$x - 1\leqslant0$，$x + 2\geqslant0$，则$\vert x - 1\vert=-(x - 1)=1 - x$，$\vert x + 2\vert=x + 2$。
原不等式$\vert x - 1\vert+\vert x + 2\vert\lt5$可化为$1 - x+x + 2\lt5$，即$3\lt5$，此不等式恒成立。
所以$-2\leqslant x\leqslant1$是原不等式的解。
③当$x\gt1$时：
$x - 1\gt0$，$x + 2\gt0$，则$\vert x - 1\vert=x - 1$，$\vert x + 2\vert=x + 2$。
原不等式$\vert x - 1\vert+\vert x + 2\vert\lt5$可化为$x - 1+x + 2\lt5$。
整理得$2x + 1\lt5$，移项得$2x\lt5 - 1$，即$2x\lt4$，两边同时除以$2$得$x\lt2$。
结合$x\gt1$，所以$1\lt x\lt2$。
综合以上三种情况，取并集可得原不等式的解集为$-3\lt x\lt2$。
【答案】：
（1）$-a\lt x\lt a$；$x\lt - a$或$x\gt a$
（2）$x\lt - 3$或$x\gt5$
（3）$-3\lt x\lt2$