《2025年暑假乐园海南出版社七年级数学人教版》

试一试，你一定很棒(八)
学校“百变魔方”社团准备购买甲、乙两种魔方. 已知购买 2 个甲种魔方和 6 个乙种魔方共需 130 元，甲种魔方的单价比乙种魔方的单价多 5 元.

(1)求这两种魔方的单价；
(2)结合社员们的需求，社团决定购买甲、乙两种魔方共 100 个(其中甲种魔方不超过 50 个)，某商店的两种优惠活动如上表所示，根据信息，社团选择活动一的优惠办法购买魔方较实惠. 请求出该社团最多能购买多少个甲种魔方.

答案： 【解析】：
(1)设乙种魔方的单价为$x$元，则甲种魔方的单价为$(x + 5)$元。
根据购买$2$个甲种魔方和$6$个乙种魔方共需$130$元，可列方程：
$2(x + 5)+6x = 130$
去括号得：$2x+10 + 6x = 130$
移项得：$2x+6x = 130 - 10$
合并同类项得：$8x = 120$
系数化为$1$得：$x = 15$
则甲种魔方的单价为：$x + 5=15 + 5 = 20$（元）
所以甲种魔方的单价为$20$元，乙种魔方的单价为$15$元。
(2)设购买甲种魔方$m$个，则购买乙种魔方$(100 - m)$个，$m\leqslant50$。
活动一的费用：
甲种魔方打八折，单价为$20\times0.8 = 16$元；乙种魔方打四折，单价为$15\times0.4 = 6$元。
总费用$y_1=16m + 6(100 - m)=16m+600 - 6m = 10m + 600$。
活动二的费用：
购买一个甲种魔方送一个乙种魔方，那么买$m$个甲种魔方送$m$个乙种魔方，还需要买$(100 - m - m)=(100 - 2m)$个乙种魔方。
总费用$y_2=20m+15(100 - 2m)=20m + 1500-30m=-10m + 1500$。
因为社团选择活动一的优惠办法购买魔方较实惠，所以$y_1\lt y_2$，即：
$10m + 600\lt - 10m + 1500$
移项得：$10m+10m\lt1500 - 600$
合并同类项得：$20m\lt900$
系数化为$1$得：$m\lt45$
又因为$m$为正整数，所以$m$的最大值为$44$。
【答案】：
(1)甲种魔方单价为$20$元，乙种魔方单价为$15$元；
(2)$44$