《2025年暑假乐园海南出版社七年级数学人教版》

1. 已知$a$，$b$在数轴上的位置如图4所示。

化简：$\sqrt{(a + 1)^{2}} - \sqrt{(2 - b)^{2}} + |a + b|$。

答案： =-1-a-(b-2)+a+b
=-1-a-b+2+a+b
=1

2. 图5是由边长为1的小正方形组成的方格图，试求虚线组成的正方形的边长$a$。

答案： 【解析】：
首先，观察由边长为$1$的小正方形组成的方格图，通过勾股定理来求虚线组成的正方形的边长$a$。
从图中可以看出，以虚线正方形的一条边为斜边，构造一个直角三角形，这个直角三角形的两条直角边分别是由小正方形的边长构成。
可以发现直角三角形的两条直角边的长度分别为$3$和$1$。
根据勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。设直角三角形的两条直角边分别为$b$、$c$，斜边为$a$，则$a^{2}=b^{2}+c^{2}$。
在此题中$b = 3$，$c = 1$，所以$a^{2}=3^{2}+1^{2}=9 + 1=10$。
因为边长$a\gt0$，所以对$a^{2}=10$两边同时开平方可得$a=\sqrt{10}$。
【答案】：$\sqrt{10}$

3. 阅读下面的文字，解答问题。
大家知道$\sqrt{2}$是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此$\sqrt{2}$的小数部分我们不可能全部写出来。将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为$\sqrt{2}$的整数部分是1，于是用$\sqrt{2} - 1$来表示$\sqrt{2}$的小数部分。又例如：
$\because \sqrt{4} ＜ \sqrt{7} ＜ \sqrt{9}$，即$2 ＜ \sqrt{7} ＜ 3$，
$\therefore \sqrt{7}$的整数部分是2，小数部分为$\sqrt{7} - 2$。
(1)$\sqrt{26}$的整数部分是______，小数部分是______；
(2)若$m$，$n$分别是$\sqrt{17} - 3$的整数部分和小数部分，求$3m^{2} - n$的值。

答案： 【解析】：
1. 对于（1）：
要确定$\sqrt{26}$的整数部分和小数部分，需要找到两个连续的完全平方数，使得$\sqrt{26}$介于它们的算术平方根之间。
因为$\sqrt{25}＜\sqrt{26}＜\sqrt{36}$，而$\sqrt{25} = 5$，$\sqrt{36}=6$，所以$5 ＜ \sqrt{26}＜6$。
根据“将这个数减去其整数部分，差就是小数部分”，可知$\sqrt{26}$的整数部分是$5$，小数部分是$\sqrt{26}-5$。
2. 对于（2）：
先确定$\sqrt{17}$的范围，因为$\sqrt{16}＜\sqrt{17}＜\sqrt{25}$，即$4 ＜ \sqrt{17}＜5$。
不等式两边同时减$3$，得到$4 - 3＜\sqrt{17}-3＜5 - 3$，也就是$1＜\sqrt{17}-3＜2$。
所以$\sqrt{17}-3$的整数部分$m = 1$，小数部分$n=\sqrt{17}-3 - 1=\sqrt{17}-4$。
把$m = 1$，$n=\sqrt{17}-4$代入$3m^{2}-n$可得：
$3m^{2}-n=3\times1^{2}-(\sqrt{17}-4)$。
先计算$3\times1^{2}=3$，则$3\times1^{2}-(\sqrt{17}-4)=3-\sqrt{17}+4$。
进一步计算得$7-\sqrt{17}$。
【答案】：（1）$5$，$\sqrt{26}-5$；（2）$7 - \sqrt{17}$