《2025年暑假乐园海南出版社七年级数学人教版》

4. “登高望远”，说的是登得高看得远。如图3，若观测点的高度为$h$（单位：km），观测者能看到的最远距离为$d$（单位：km），则$d \approx \sqrt{2hR}$，其中$R$是地球半径，通常取6400km。
(1)李青站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度$h$为5m，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时$d$的值；
(2)王林说：“泰山海拔约为1500m，泰山到海边的最小距离约230km，天气晴朗时站在泰山之巅（人的身高忽略不计）可以看到大海。”请判断其结论是否正确，并说明理由。

答案： 【解析】：
(1) 首先需要将高度$h$的单位进行统一，因为$1km = 1000m$，所以$5m=5\div1000 = 0.005km$。
已知$d\approx\sqrt{2hR}$，$R = 6400km$，$h = 0.005km$，将$h$和$R$的值代入公式可得：
$d\approx\sqrt{2\times0.005\times6400}=\sqrt{64}=8(km)$。
(2) 同样先将泰山海拔高度$1500m$的单位换算为$km$，$1500m = 1500\div1000=1.5km$。
把$h = 1.5km$，$R = 6400km$代入$d\approx\sqrt{2hR}$，可得：
$d\approx\sqrt{2\times1.5\times6400}=\sqrt{19200}\approx138.6(km)$。
因为$138.6km\lt230km$，所以站在泰山之巅（人的身高忽略不计）看不到大海，王林的结论错误。
【答案】：
(1)$8km$；
(2)王林的结论错误，理由：当$h = 1.5km$，$R = 6400km$时，$d\approx\sqrt{2\times1.5\times6400}\approx138.6km$，$138.6km\lt230km$，所以站在泰山之巅（人的身高忽略不计）看不到大海。

5. 已知$2a - 1$的平方根是$\pm 3$，$3a - b - 1$的立方根为2，求$6a + b$的算术平方根。

答案： 【解析】：
因为$2a - 1$的平方根是$\pm 3$，根据平方根的定义，一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，且互为相反数的两个数的平方相等，所以$(\pm3)^{2}=2a - 1$，即$2a-1 = 9$。
解方程$2a-1 = 9$，移项可得$2a=9 + 1$，即$2a=10$，解得$a = 5$。
又因为$3a - b - 1$的立方根为$2$，根据立方根的定义，若$x$的立方根是$y$，则$x=y^{3}$，所以$3a - b - 1=2^{3}=8$。
把$a = 5$代入$3a - b - 1 = 8$中，得到$3\times5 - b - 1 = 8$，即$15 - b - 1 = 8$，$14 - b = 8$，移项可得$b=14 - 8$，解得$b = 6$。
则$6a + b=6\times5+6=30 + 6=36$。
因为一个非负数$x$的算术平方根记为$\sqrt{x}$，且$\sqrt{36}=6$，所以$6a + b$的算术平方根是$6$。
【答案】：$6$