《2025年快乐过暑假江苏凤凰科学技术出版社七年级提升版》

1. 下列多项式的乘法中,能用平方差公式计算的是(B)
A.$(m - 2n)(-m + 2n)$
B.$(\frac{1}{2}m + n)(n - \frac{1}{2}m)$
C.$(m^{2} - n)(m + n^{2})$
D.$(m + 3n)(n - 3m)$

答案： B

2. 已知$m^{2} = 3n + a$,$n^{2} = 3m + a$,且$m \neq n$,则$m^{2} + 2mn + n^{2}$的值为(A)
A.9
B.6
C.4
D.无法确定

答案： A

3. 从1开始的自然数中,把能表示成两个正整数的平方差的数从小到大排列,如下：3,5,7,8,9,11,12,13,15,16,17,19,…,则第2025个数是(C)
A.2699
B.2701
C.2703
D.2704

答案： C

4. 计算：$(4 × 10^{3}) × (3 × 10^{4}) = $____$1.2 × 10^{8}$.

答案： $ 1.2 × 10 ^ { 8 } $

5. 若$(x + a)(x + b) = x^{2} + 4x + 3$,则$a + b = $4.

答案： 4

6. 一片草地辟出一块长方形场地后,还修建了一条宽为1m的小道,如图(单位：m),根据图示信息,草地剩余部分(图中阴影部分)的面积可用含$x$,$y$的代数式表示为$xy - x + 8y + 32$m.(保留最简结果)

答案： $ ( x y - x + 8 y + 32 ) $

7. 仔细阅读下列解题过程.
若$a^{2} + 2ab + 2b^{2} - 6b + 9 = 0$,求$a$,$b$的值.
解：由$a^{2} + 2ab + 2b^{2} - 6b + 9 = 0$,
得$a^{2} + 2ab + b^{2} + b^{2} - 6b + 9 = 0$,
整理,得$(a + b)^{2} + (b - 3)^{2} = 0$,
由上式,得$a + b = 0$,$b - 3 = 0$,
因此$a = -3$,$b = 3$.
根据以上解题过程,试探究下列问题.
(1)已知$x^{2} - 2xy + 2y^{2} - 2y + 1 = 0$,求$x + 2y$的值；
(2)已知$a^{2} + 5b^{2} - 4ab - 2b + 1 = 0$,求$a$,$b$的值；
(3)已知$m = n + 4$,$mn + t^{2} - 8t + 20 = 0$,求$n^{2m - t}$的值.

答案：
(1)解：由$x^{2}-2xy+2y^{2}-2y+1=0$，
得$x^{2}-2xy+y^{2}+y^{2}-2y+1=0$，
整理，得$(x-y)^{2}+(y-1)^{2}=0$，
由上式，得$x-y=0$，$y-1=0$，
因此$x=1$，$y=1$，
所以$x+2y=1+2×1=3$。
(2)解：由$a^{2}+5b^{2}-4ab-2b+1=0$，
得$a^{2}-4ab+4b^{2}+b^{2}-2b+1=0$，
整理，得$(a-2b)^{2}+(b-1)^{2}=0$，
由上式，得$a-2b=0$，$b-1=0$，
因此$b=1$，$a=2×1=2$。
(3)解：因为$m=n+4$，
将$m=n+4$代入$mn+t^{2}-8t+20=0$，
得$n(n+4)+t^{2}-8t+20=0$，
整理，得$n^{2}+4n+4+t^{2}-8t+16=0$，
即$(n+2)^{2}+(t-4)^{2}=0$，
由上式，得$n+2=0$，$t-4=0$，
因此$n=-2$，$t=4$，
所以$m=n+4=-2+4=2$，
则$n^{2m-t}=(-2)^{2×2-4}=(-2)^{0}=1$。