《2025年快乐过暑假江苏凤凰科学技术出版社七年级提升版》

1. 计算$2a^{2}\cdot (-a)$的结果是(B)
A.$2a^{3}$
B.$-2a^{3}$
C.$-2a^{2}$
D.$2a^{2}$

答案： B

2. 一位庄园主把一块长为$a$m、宽为$b$m$(a＞b＞10)$的长方形土地租给租户张老汉,第二年,他对张老汉说：“我把这块土地的长增加10m,宽减少10m续租给你,租金不变,你也没有吃亏,你看如何？”如果这样,那么张老汉的租地面积会(A)
A.变小
B.变大
C.没有变化
D.无法确定

答案： A

3. 若$P= (x+2)(x-5)$,$Q= (x-1)(x-2)$,则$P$,$Q$的大小关系是(C)
A.$P＞Q$
B.$P= Q$
C.$P＜Q$
D.无法确定

答案： C

4. 已知$x+y= 4$,$xy= 2$,则$(x-1)(y-1)= $$-1$。

答案： $-1$

5. 若$4x^{2}+(k-3)x+25$是一个完全平方式,则$k$的值为23 或 -17。

答案： 23 或 $-17$

6. 借助图形直观感受数与形之间的关系,我们常常可以发现一些重要结论。
【初步应用】
(1)①如图1,大长方形的面积可以看成4个小长方形的面积之和,由此得到多项式乘多项式的运算法则：______；(用图中字母表示)
②如图2,借助①,写出一个我们学过的公式：______。(用图中字母表示)
【深入探究】
(2)仿照图2,构造图形并计算$(a+b+c)^{2}$。
【拓展延伸】
借助以上探究经验,解决下列问题：
(3)①代数式$(a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5})^{2}$展开、合并同类项后,得到的多项式的项数一共有______项；
②若正数$x$,$y$,$z和正数m$,$n$,$p$,满足$x+m= y+n= z+p= t$,请通过构造图形比较$px+my+nz与t^{2}$的大小；(画出图形,并写出大小关系式)
③已知$x$,$y$,$z满足x+y+z= 2m$,$x^{2}+y^{2}+z^{2}= 2n$,$xyz= p$,求$x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+x^{2}z^{2}$的值。(用含$m$,$n$,$p$的式子表示)

答案：

(1)①$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$
②$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
(2)构造大正方形的边长为$a+b+c$，借助面积关系，可得$(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ac$
(3)①$(a_{1}+a_{2})^{2}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}\cdots2$项$+2a_{1}a_{2}\cdots1$项，所以一共有$2 + 1 = 3$项；
$(a_{1}+a_{2}+a_{3})^{2}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}\cdots3$项$+2a_{1}a_{2}+2a_{1}a_{3}\cdots2$项$+2a_{2}a_{3}\cdots1$项，所以一共有$3 + 2 + 1 = 6$项；
$(a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4})^{2}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}\cdots4$项$+2a_{1}a_{2}+2a_{1}a_{3}+2a_{1}a_{4}\cdots3$项$+2a_{2}a_{3}+2a_{2}a_{4}\cdots2$项$+2a_{3}a_{4}\cdots1$项，所以一共有$4 + 3 + 2 + 1 = 10$项；
$(a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5})^{2}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}+a_{5}^{2}\cdots5$项$+2a_{1}a_{2}+2a_{1}a_{3}+2a_{1}a_{4}+2a_{1}a_{5}\cdots4$项$+2a_{2}a_{3}+2a_{2}a_{4}+2a_{2}a_{5}\cdots3$项$+2a_{3}a_{4}+2a_{3}a_{5}\cdots2$项$+2a_{4}a_{5}\cdots1$项，所以一共有$5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15$项。故答案为15
②如图2，由图形得$px+my+nz\lt t^{2}$
③因为$x + y + z = 2m$，所以$x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xz+2xy+2yz=4m^{2}$。因为$x^{2}+y^{2}+z^{2}=2n$，所以$2xz+2xy+2yz=4m^{2}-2n$，即$xz+xy+yz=2m^{2}-n$，两边平方得$(xz+xy+yz)^{2}=x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+x^{2}z^{2}+2x^{2}yz+2y^{2}xz+2z^{2}xy=(2m^{2}-n)^{2}$，即$x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+x^{2}z^{2}=4m^{4}-4m^{2}n+n^{2}-2xyz\cdot(x + y + z)=4m^{4}-4m^{2}n+n^{2}-2p\cdot2m=4m^{4}-4m^{2}n+n^{2}-4pm$