《2025年快乐过暑假江苏凤凰科学技术出版社七年级提升版》

1. 下列计算中正确的是(B)
A.$x^{2}\cdot x^{3}= x^{6}$
B.$m^{2025}÷m^{2024}= m$
C.$(-4a^{2})^{3}= -12a^{6}$
D.$2^{-3}= -8$

答案： B

2. 若$n$为正整数,则计算$(-2)^{2n}+2\cdot (-2)^{2n-1}$的结果是(A)
A.0
B.2
C.$2^{2n-1}$
D.$-2^{2n+1}$

答案： A

3. 如果$x^{n}= y$,那么我们规定$(x,y)= n$.例如：因为$3^{2}= 9$,所以$(3,9)= 2$.若$(m,a)+(m,b)= (m,t)(m≠0)$,则$t$的值为(A)
A.$ab$
B.$\frac {b}{a}$
C.$a+b$
D.$\frac {a}{b}$

答案： A

4. 数据0.000063用科学记数法表示为$6.3 × 10^{-5}$.

答案： $6.3 × 10^{-5}$

5. 若$m$,$n$均为正整数,且$2^{m-1}×4^{n}= 32$,则$m+n$的所有可能值为4 或 5.

答案： 4 或 5

6. 阅读以下材料：
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔,纳皮尔发明对数是在指数书写方式出现之前,直到18世纪,瑞士数学家欧拉才发现指数与对数之间的联系.
对数的定义：一般地,若$a^{x}= N(a＞0,a≠1)$,则$x叫作以a为底N$的对数,记作$x= log_{a}N$.比如指数式$2^{4}= 16可以转化为4= log_{2}16$,对数式$2= log_{5}25可以转化为5^{2}= 25$.
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
$log_{a}(M\cdot N)= log_{a}M+log_{a}N(a＞0,a≠1,M＞0,N＞0)$.理由如下：
设$log_{a}M= m$,$log_{a}N= n$,则$M= a^{m}$,$N= a^{n}$,所以$M\cdot N= a^{m}\cdot a^{n}= a^{m+n}$,由对数的定义得$m+n= log_{a}(M\cdot N)$.
又因为$m+n= log_{a}M+log_{a}N$,
所以$log_{a}(M\cdot N)= log_{a}M+log_{a}N$.
根据上述材料,解决下列问题：
(1)将指数式$4^{3}= 64$转化为对数式是____$3 = \log_{4}64$.
(2)等式$log_{a}\frac {M}{N}= log_{a}M-log_{a}N(a＞0,a≠1,M＞0,N＞0)$成立吗？请说明理由.
成立。
设$\log_{a}M = m$，$\log_{a}N = n$，则$M = a^{m}$，$N = a^{n}$，
所以$\frac{M}{N} = \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}$，
由对数的定义得$m - n = \log_{a}\frac{M}{N}$，
又因为$m - n = \log_{a}M - \log_{a}N$，
所以$\log_{a}\frac{M}{N} = \log_{a}M - \log_{a}N$。
(3)求$log_{3}9+log_{3}27-log_{3}81$的值.
$\log_{3}9 + \log_{3}27 - \log_{3}81$
$= \log_{3}(9 × 27) - \log_{3}81$
$= \log_{3}243 - \log_{3}81$
$= \log_{3}\frac{243}{81}$
$= \log_{3}3$
$= 1$

答案：
(1) $3 = \log_{4}64$
(2) 成立。
设$\log_{a}M = m$，$\log_{a}N = n$，则$M = a^{m}$，$N = a^{n}$，
所以$\frac{M}{N} = \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}$，
由对数的定义得$m - n = \log_{a}\frac{M}{N}$，
又因为$m - n = \log_{a}M - \log_{a}N$，
所以$\log_{a}\frac{M}{N} = \log_{a}M - \log_{a}N$。
(3) $\log_{3}9 + \log_{3}27 - \log_{3}81$
$= \log_{3}(9 × 27) - \log_{3}81$
$= \log_{3}243 - \log_{3}81$
$= \log_{3}\frac{243}{81}$
$= \log_{3}3$
$= 1$