《2025年快乐过暑假江苏凤凰科学技术出版社七年级提升版》

1. 下列计算中正确的是 (C)
A.$- y ( x + \frac { 5 } { 4 } y ) = - x y + \frac { 5 } { 4 } y ^ { 2 }$
B.$( - 2 x + 1 ) ^ { 2 } = 4 x ^ { 2 } + 4 x + 1$
C.$( 3 x - 2 y ) ( 2 y - 3 x ) = - 9 x ^ { 2 } + 12 x y - 4 y ^ { 2 }$
D.$( x - 3 ) ( x - 5 ) = x ^ { 2 } - 15$

答案： C

2. 若$a + b = 3$,$ab = 1$,则$a ^ { 2 } + b ^ { 2 }$的结果是 (B)
A.9
B.7
C.3
D.6

答案： B

3. 已知$( x - 2 ) ( x ^ { 2 } + m x + n )的积中不含x ^ { 2 }项和x$项,则$m$,$n$的值分别为 (A)
A.2,4
B.3,6
C.$- 2$,$- 4$
D.$- 3$,$- 6$

答案： A

4. 计算：$3 y \cdot ( - 2 x y ^ { 3 } ) = $$-6xy^{4}$.

答案： $-6xy^{4}$

5. 计算：$2 0 2 4 × 2 0 2 2 - 2 0 2 3 ^ { 2 } = $$-1$.

答案： $-1$

6. 若一个整数能表示成$a ^ { 2 } + b ^ { 2 }$($a$,$b$为整数)的形式,则称这个数为“完美数”.例如：因为$5 = 2 ^ { 2 } + 1 ^ { 2 }$,所以5是一个“完美数”.已知$M = x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } + 4 x - 12 y + k$($x$,$y$是整数,$k$是常数),要使$M$为“完美数”,则$k$的值为______13.

答案： 13

7. 【知识生成】
通过不同的方法表示同一图形的面积,可以探求相应的等式.两个边长分别为$a$,$b的直角三角形和一个两条直角边都是c$的直角三角形拼成如图1所示的梯形,请用两种方法计算梯形面积.
(1)方法一可表示为$ab+\frac{1}{2}c^{2}$,方法二可表示为$\frac{1}{2}(a+b)^{2}$.
(2)根据方法一和方法二,你能得出$a$,$b$,$c$之间的数量关系是$c^{2}=a^{2}+b^{2}$.(等号两边需写成最简形式)
(3)由上可知,若一个直角三角形的两条直角边长为6和8,则其斜边长为10.
【知识迁移】
(4)通过不同的方法表示同一几何体的体积,也可以探求相应的等式.图2是棱长为$a + b$的正方体,被如图所示的分割线分成8块.用不同的方法计算这个正方体的体积,就可以得到一个等式,这个等式可以为$(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$.(等号两边需写成最简形式)

答案：
(1) $ab+\frac{1}{2}c^{2}$ $\frac{1}{2}(a+b)^{2}$
(2) $c^{2}=a^{2}+b^{2}$
(3) 10
(4) $(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$