《2025年快乐过暑假江苏凤凰科学技术出版社七年级提升版》

1. 纳米(nm)是一种长度单位,$1nm = 1.0×10^{-9}m$,若用科学记数法表示110 nm,则正确的结果是(C)
A.$1.1×10^{-11}m$
B.$1.1×10^{-10}m$
C.$1.1×10^{-7}m$
D.$1.1×10^{-6}m$

答案： C

2. 已知$x + y - 3 = 0$,则$2^{x}·2^{y}$的值为(B)
A.64
B.8
C.6
D.12

答案： B

3. 已知$2^{a}= 64$,$2^{b}= 128$,$2^{c}= 256$,给出下列关于a,b,c的计算：①$c = a + 2$；②$c - b = 1$；③$a + c = 2b$；④$a + b = c + 1$.其中正确的是(B)
A.①②③④
B.①②③
C.①②④
D.②③④

答案： B

4. 已知$2×8^{x}×16 = 2^{23}$,则$x = $6.

答案： 6

5. 若$m^{a}= 2m$,$m^{b}= (\frac{m}{2})^{-1}$(a,b是整数,$m≠0$),则$9^{a}÷3^{2b}= $81.

答案： 81

6. 如果a,b,c是整数,且$a^{c}= b$,那么我们规定一种符号,记作$(b,c)= a$.例如：$3^{2}= 9$,记作$(9,2)= 3$.根据以上规定,$(\frac{1}{32},-5)= $2.

答案： 2

7. 小明学习了“幂的运算”后做这样一道题：$(2x - 4)^{x + 3}= (x + 1)^{x + 3}$,求x的值.他解出来的结果为$x = 5$,老师说小明考虑问题不全面,聪明的你能帮助小明解决这个问题吗？
小明的解答：因为相等底数的相同次幂相等,所以$2x - 4 = x + 1$,解得$x = 5$.
你补充的解答：

答案： 解：分三种情况讨论：
情况一：当指数为0时，即$x + 3 = 0$，解得$x = -3$。此时底数$2x - 4 = 2×(-3) - 4 = -10$，$x + 1 = -3 + 1 = -2$，因为任何非零数的0次幂都等于1，所以$(-10)^0 = (-2)^0 = 1$，$x = -3$是方程的解。
情况二：当底数为1时，
若$2x - 4 = 1$，解得$x = \frac{5}{2}$；
若$x + 1 = 1$，解得$x = 0$。
经检验，当$x = \frac{5}{2}$时，$(2×\frac{5}{2} - 4)^{\frac{5}{2} + 3} = 1^{\frac{11}{2}} = 1$，$( \frac{5}{2} + 1)^{\frac{5}{2} + 3} = (\frac{7}{2})^{\frac{11}{2}} \neq 1$，故$x = \frac{5}{2}$不是方程的解；
当$x = 0$时，$(2×0 - 4)^{0 + 3} = (-4)^3 = -64$，$(0 + 1)^{0 + 3} = 1^3 = 1$，$-64 \neq 1$，故$x = 0$不是方程的解。
情况三：当底数为$-1$时，
若$2x - 4 = -1$，解得$x = \frac{3}{2}$；
若$x + 1 = -1$，解得$x = -2$。
经检验，当$x = \frac{3}{2}$时，指数$x + 3 = \frac{3}{2} + 3 = \frac{9}{2}$，不是整数，$(-1)^{\frac{9}{2}}$无意义，故$x = \frac{3}{2}$不是方程的解；
当$x = -2$时，$(2×(-2) - 4)^{-2 + 3} = (-8)^1 = -8$，$(-2 + 1)^{-2 + 3} = (-1)^1 = -1$，$-8 \neq -1$，故$x = -2$不是方程的解。
情况四：当底数相等时，即$2x - 4 = x + 1$，解得$x = 5$。此时$(2×5 - 4)^{5 + 3} = 6^8$，$(5 + 1)^{5 + 3} = 6^8$，$x = 5$是方程的解。
综上，$x$的值为$5$，$-3$。
（注：原参考答案中$x=1$为错误答案，经上述严格讨论，$x=1$时，左边$(2×1 - 4)^{1 + 3}=(-2)^4=16$，右边$(1 + 1)^{1 + 3}=2^4=16$，此时$x=1$是方程的解，上述解答过程遗漏此情况，正确补充如下：
补充情况：当$x=1$时，$(2×1 - 4)^{1 + 3}=(-2)^4=16$，$(1 + 1)^{1 + 3}=2^4=16$，等式成立，故$x=1$也是方程的解。
因此，正确$x$的值为$5$，$-3$，$1$。）
解：$x=5$，$-3$或$1$。

8. 求下列各式中x的值：
(1)$2×8^{x}·16^{x}= 2^{22}$；
(2)$2^{3x - 1}·3^{3x - 1}= 36^{x + 2}$.

答案：
(1)解：$2×8^{x}·16^{x}=2×(2^{3})^{x}·(2^{4})^{x}=2×2^{3x}·2^{4x}=2^{1+3x+4x}=2^{1+7x}$
$2^{1+7x}=2^{22}$
$1+7x=22$
$7x=21$
$x=3$
(2)解：$2^{3x - 1}·3^{3x - 1}=(2×3)^{3x - 1}=6^{3x - 1}$
$36^{x + 2}=(6^{2})^{x + 2}=6^{2(x + 2)}=6^{2x + 4}$
$6^{3x - 1}=6^{2x + 4}$
$3x - 1=2x + 4$
$3x - 2x=4 + 1$
$x=5$