《2025年优生ABC九年级数学上册人教版》

考点 1 一个概念:二次函数的定义
1. (2024·合肥市月考)已知函数 $ y=(m + 2)x^{m^{2}+m - 4} $ 是关于 $ x $ 的二次函数,则满足条件的 $ m $ 值为 (D)
A. 3
B. -3
C. 2
D. -3 或 2

答案： D

考点 2 一个性质:抛物线的图象与性质
2. 如图,二次函数 $ y = a(x + 2)^{2}+k $ 的图象与 $ x $ 轴交于 $ A,B(-1,0) $ 两点,则下列说法正确的是(D)

A. $ a＜0 $
B. 点 $ A $ 的坐标为 $ (-4,0) $
C. 当 $ x＜0 $ 时, $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
D. 图象的对称轴为直线 $ x = -2 $

答案： D

关系 1 抛物线与二次函数系数关系
3. (2024·重庆市期末)如图,二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c(a\neq0) $ 的图象与 $ x $ 轴相交于 $ A(-1,0) $, $ B $ 两点,对称轴是直线 $ x = 1 $,下列说法正确的是 (D)

A. $ a＞0 $
B. 当 $ x＞0 $ 时, $ y $ 的值随着 $ x $ 的增大而减小
C. $ b - 2a = 0 $
D. $ 4a + 2b + c＞0 $

答案： D

关系 2 二次函数与一元二次方程的关系
4. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+x - m = 0 $.
(1)若方程有两个不相等的实数根,求 $ m $ 的取值范围.$ m ＞ -\frac{1}{4} $
(2)二次函数 $ y = x^{2}+x - m $ 的部分图象如图所示,求一元二次方程 $ x^{2}+x - m = 0 $ 的解.$ x_{1} = 1 $，$ x_{2} = -2 $

答案： 解:
(1)
∵ 一元二次方程 $ x^{2}+x - m = 0 $ 有两个不相等的实数根,
∴ $ \Delta ＞ 0 $, 即 $ 1 + 4m ＞ 0 $,
解得 $ m ＞ -\frac{1}{4} $.
∴ $ m $ 的取值范围是 $ m ＞ -\frac{1}{4} $.
(2)
∵ 二次函数 $ y = x^{2}+x - m $ 图象的对称轴为直线 $ x = -\frac{1}{2} $,
∴ 抛物线与 $ x $ 轴的两个交点关于直线 $ x = -\frac{1}{2} $ 对称.
由图可知抛物线与 $ x $ 轴一个交点为 $ (1,0) $,
∴ 另一个交点为 $ (-2,0) $.
∴ 一元二次方程 $ x^{2}+x - m = 0 $ 的解为 $ x_{1} = 1 $, $ x_{2} = -2 $.