《2025年优生ABC九年级数学上册人教版》

9.(2024·黄冈市月考)如图，$AB$是$\odot O$直径，点$C$在$\odot O$上，$CD\perp AB$，垂足为点$D$，点$E$是$\odot O$上的动点(不与点$C$重合)，点$F$为$CE$的中点，若$AD = 3$，$CD = 6$，则$DF$的最大值为7.5。

答案： 7.5

10.(2024·东莞市期末)如图，在$\triangle ABC$中，$\angle A = 60^{\circ}$，$BC = 2$ cm，能够将$\triangle ABC$完全覆盖的最小圆形纸片的半径为 (B)

A.$\sqrt{3}$ cm
B.$\frac{2\sqrt{3}}{3}$ cm
C.2 cm
D.$2\sqrt{3}$ cm

答案： B

11.(2024·广州市中考)如图，在$\odot O$中，弦$AB$的长为$4\sqrt{3}$，点$C$在$\odot O$上，$OC\perp AB$，$\angle ABC = 30^{\circ}$。$\odot O$所在的平面内有一点$P$，若$OP = 5$，则点$P$与$\odot O$的位置关系是 (C)

A.点$P$在$\odot O$上
B.点$P$在$\odot O$内
C.点$P$在$\odot O$外
D.无法确定

答案： C

12.(2024·南宁市月考)如图，等边$\triangle ABC$内接于$\odot O$，$BC = 4$，点$D$在$\overset{\frown}{AB}$上，$\angle ABD = 45^{\circ}$，$AE\perp CD$于点$E$，则$BD + DE$的值是 (D)

A.$\sqrt{3}+2$
B.$\sqrt{2}+2$
C.$2\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{2}$

答案： D

13.(2024·武汉市模拟)如图，$\triangle ABC$内接于$\odot O$，$\angle ACB = 135^{\circ}$，$CD\perp AB$于点$D$，若$AD = 4$，$BD = 6$，则$CD$的长为 (A)

A.2
B.3
C.4
D.5

答案： A

14.(2024·广州市二模)如图，$\odot O$是$\triangle ABC$的外接圆，$AB = AC$，$CD\perp AB$于点$D$，$BO$的延长线交$CD$于点$E$。
(1)$\angle DCB$=$\angle DBE$。(填“＞”“＜”或“=”)
(2)若$BC = 4\sqrt{2}$，$BE = 4$，则$OE=$1。

答案：
(1)$=$
(2)1

15.(2024·武汉市二模)如图，已知$\triangle ABC$内接于$\odot O$，$AB$为$\odot O$的直径，点$D$为$\odot O$上的一点，$\overset{\frown}{DC}=\overset{\frown}{DB}$，点$E$为$CA$延长线上的一点。
(1)连接$AD$，求证：$AD$平分$\angle BAE$。
(2)过点$D$作$DF\perp AB$于点$F$，若$AF = 4$，$BF = 9$，求$AC$的长。

答案：
解:
(1)证明:
∵四边形ADBC是$\odot O$的内接四边形,
$\therefore ∠CAD+∠CBD=180^{\circ }$.
$\because ∠CAD+∠DAE=180^{\circ }$,
$\therefore ∠DAE=∠CBD$.
$\because \overset{\frown }{DC}=\overset{\frown }{DB}$,
$\therefore ∠CBD=∠DAB$.
$\therefore ∠DAB=∠DAE$.
$\therefore AD$平分$∠BAE$.
(2)如图,连接CD,过点D作$DG⊥AE$,垂足为点G.

$\because DF⊥AB,DG⊥AE$,
$\therefore ∠AGD=∠AFD=∠BFD=90^{\circ }$.
$\because ∠DAB=∠DAE,AD=AD$,
$\therefore \triangle AGD\cong \triangle AFD$.
$\therefore AG=AF,DG=DF$.
$\because \overset{\frown }{DC}=\overset{\frown }{DB}$,
$\therefore CD=BD$.
$\therefore Rt\triangle CGD\cong Rt\triangle BFD$.
$\therefore CG=BF$.
$\therefore AG+AC=BF$.
$\therefore AF+AC=BF$.
$\therefore AC=BF - AF=9 - 4=5$.